Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

8.  Equilíbrio e Elasticidade

8.1   Introdução

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Figura 8.1: Em geral, se um objeto não é acelerado, seja em translação ou rotação, o objeto é considerado em equilíbrio. Os pontes são exemplos de equilíbrio estático.

Dedicamos muito esforço para entender por que e como os corpos se aceleram em decorrência das forças que atuam sobre eles. Porém, muitas vezes, estamos interessados em garantir que os corpos não se acelerem. Esse é o objetivo do estudo do equilíbrio.

8.2   Condições de equilíbrio

Para um corpo rígido estar em equilíbrio, duas condições devem ser obedecidas.

A primeira é que a soma vetorial das forças deve ser igual a zero.

A segunda é que a soma dos torques em relação a qualquer ponto deve ser igual a zero.

O torque decorrente do peso de um corpo pode ser obtido supondo que o peso do corpo esteja concentrado no centro de gravidade, que é o mesmo ponto do centro de massa se Fisica1-Cap8_2.png possuir o mesmo valor em todos os pontos.

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Figura 8.2: Condições de equilíbrio e centro de massa.

Demonstração Computacional 8.1: Equilíbrio estático para um objeto estendido

Exemplo 8.1: A gangorra

Uma gangorra, que consiste de uma tábua uniforme de massa M e comprimento l, suporta, em repouso, um pai e uma filha, de massas Fisica1-Cap8_5.png e Fisica1-Cap8_6.png, respetivamente, como mostrado na figura. O apoio (chamado fulcro) está sob o centro de gravidade da tábua; o pai está a uma distância d do centro e a filha a l/2 do centro.
(a) Determine o módulo da força para cima Fisica1-Cap8_7.png exercida pelo apoio sobre a tábua.
(b) Determine onde o pai deveria se sentar para equilibrar o sistema em repouso.

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Exercício 8.1: Equilibrado em uma prancha

Uma prancha uniforme, de comprimento L = 6,0 m e massa M = 90 kg, repousa sobre dois cavaletes separados por uma distância D = 1,5 m, localizados em pontos equidistantes do centro de gravidade da prancha. Seu primo Tobias tenta ficar em pé na extremidade direita da prancha. Qual deve ser sua massa para que a prancha permaneça em repouso?

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Exemplo 8.2: A escada deslizará?

Sir Lancelot, que pesa 800 N, está invadindo um castelo subindo em uma escada uniforme de 5,0 m de comprimento e que pesa 180 N. A base da escada está apoiada sobre a borda de uma pedra e a escada está sobre um fosso, em equilíbrio contra uma parede vertical sem atrito. A escada faz um ângulo de 53,1º com a horizontal. Lancelot para a um terço do percurso da escada.
(a) Calcule a força normal e a força de atrito na base da escada.
(b) Ache o coeficiente de atrito estático mínimo para impedir que a base da escada escorregue.
(c) Determine o módulo, a direção e o sentido da força de contato com a base da escada.

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Exercício 8.2: Em pé em uma viga horizontal

Uma viga horizontal uniforme com comprimento l = 8,00 m e peso Fisica1-Cap8_11.png = 200 N é presa a uma parede por uma conexão de pinos. Sua extremidade mais afastada é sustentada por um cabo que forma um ângulo φ = 53,0º com a viga. Uma pessoa de peso Fisica1-Cap8_12.png = 600 N fica em pé a uma distância d = 2,00 m da parede. Encontre a tensão no cabo, bem como o módulo e a direção da força exercida pela parede sobre a viga.

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8.3   Tensão, deformação e lei de Hooke

A lei de Hooke afirma que, em deformações elásticas, a tensão (força por unidade de área) é proporcional à deformação (fração da deformação).

A constante de proporcionalidade é denominada módulo de elasticidade.

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Figura 8.3: Lei de Hooke

8.4   Tensão de dilatação e de compressão

A tensão de dilatação é a força de dilatação por unidade de área, Fisica1-Cap8_15.png.

A deformação de dilatação é a fração da variação de comprimento, Fisica1-Cap8_16.png.

O módulo de elasticidade é denominado módulo de Young, Y.

A tensão e a deformação de compressão o definidas da mesma maneira.

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Figura 8.4: O módulo de Young.

Exemplo 8.3: Cenografia

Um cabo é utilizado para sustentar um ator enquanto ele entra balançando no palco. Agora, suponha que a tensão no cabo seja de 940 N quando o ator atinge o ponto mais baixo. Que diâmetro deveria ter um cabo de aço de 10 m de comprimento se não quisermos que ele estique mais que 0,50 cm nessas condições? O módulo de Young para o aço é  Fisica1-Cap8_18.png

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Exercício 8.3: Tensão e deformação de dilatação

Um eixo de aço de 2,0 m de comprimento possui seção reta com área de 0,30 Fisica1-Cap8_20.png. O eixo está suspenso por uma das extremidades em uma estrutura de suporte, e uma fresadora de 550 kg é suspensa na extremidade inferior do eixo. Determine a tensão, a deformação e a dilatação do eixo.

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8.5   Tensão volumétrica

A pressão de um fluido é a força por unidade de área.

A tensão volumétrica é a variação de pressão, Δp, e a deformação volumétrica é a fração da variação de volume. Isto é, ΔV/Fisica1-Cap8_22.png.

O módulo de elasticidade é denominado módulo de compressão, B.

A compressibilidade, k, é o inverso do módulo de compressão: k = 1/B.

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Figura 8.5: Tensão volumétrica.

Exemplo 8.4: Tensão e deformação volumétrica

Uma prensa hidráulica contém 0,25 Fisica1-Cap8_24.png (250 L) de óleo. Calcule a diminuição de volume do óleo quando ele é submetido a um aumento de pressão Fisica1-Cap8_25.png Pa (cerca de 160 atm). O módulo de compressão do óleo é Fisica1-Cap8_26.png Pa (cerca de Fisica1-Cap8_27.png atm) e sua compressibilidade é  Fisica1-Cap8_28.png Fisica1-Cap8_29.png.

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Exercício 8.4: Comprimindo uma esfera de bronze

Uma esfera maciça de bronze está inicialmente circundada por ar. A pressão de ar exercida sobre ela é de Fisica1-Cap8_31.png Pa (pressão atmosférica normal). A esfera é mergulhada no oceano a uma profundidade em que a pressão é Fisica1-Cap8_32.png Pa. O volume da esfera no ar é 0,50 Fisica1-Cap8_33.png. Quanto este volume muda, já que a esfera é submersa?

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8.6   Tensão de cisalhamento

A tensão de cisalhamento é a força por unidade de área, Fisica1-Cap8_35.png, no caso de uma forca aplicada tangente ou paralela a uma superfície.

A deformação de cisalhamento é o deslocamento x de um lado dividido pela dimensão transversal h.

O módulo de elasticidade é denominado modulo de cisalhamento, S.

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Figura 8.6: Tensão de cisalhamento.

Demonstração Computacional 8.2: Deformação de cisalhamento

Exemplo 8.5: Tensão e deformação de cisalhamento

Suponha uma a placa de bronze na base de uma escultura em uma praça; ela sofre a ação de forças de cisalhamento produzidas por um terremoto. A placa possui uma face quadrada com lado igual a 0,80 m e sua profundidade é igual a 0,50 cm. Qual é a força mínima que deve ser exercida sobre cada aresta para que o deslocamento x seja igual a 0,16 mm?

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Exercício 8.5: A criança que desliza

Uma criança desliza por um piso com sapatos com solado de borracha. A força de atrito que age sobre cada pé é de 20.0 N. A área de pegada de cada sola do sapato é de 14,0 Fisica1-Cap8_39.png e sua espessura é de 5,00 mm. Encontre a distância horizontal pela qual as superfícies superior e inferior de cada sola são compensadas. O módulo de cisalhamento da borracha é 3.00 MN/Fisica1-Cap8_40.png.

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8.7   Limites da lei de Hooke

A lei de Hooke — a proporcionalidade entre a tensão e a deformação em deformações elásticas — possui um limite de validade.

O limite de proporcionalidade corresponde a tensão máxima para a qual a tensão e a deformação são proporcionais.

Além do limite de proporcionalidade, a lei de Hooke não é mais valida.

O limite de elasticidade é a tensão acima da qual ocorre uma deformação irreversível.

A tensão de fratura, ou limite de rigidez, é a tensão acima da qual ocorre fratura do material.

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Figura 8.7: Limite de validade da lei de Hooke.

8.8  Problemas

1.    Congelamento: Quando a água congela, expande-se em cerca de 9,00%. Que aumento de pressão ocorreria no bloco do motor do seu automóvel se a água dentro dele congelasse? (O módulo de compressibilidade cúbica do gelo é Fisica1-Cap8_43.png N/Fisica1-Cap8_44.png.)

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2.    Na Piscina: Uma prancha de trampolim com 3,0 m de comprimento é suportada em um ponto situado a 1,00 m de uma de suas extremidades, e uma mergulhadora pesando 500 N está em pé na outra extremidade. A prancha possui seção reta uniforme e pesa 280 N. Calcule (a) a força exercida sobre o ponto de suporte; (b) a força na extremidade esquerda.

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3.    O fio de arame: Um arame circular de aço de 2,0 m de comprimento não pode se dilatar mais do que 0,25 cm quando uma tensão de 700 N é aplicada a cada uma de suas extremidades. Qual é o diâmetro mínimo necessário para esse arame?

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4.    Comprimindo óleo: Uma amostra de óleo com volume inicial de 600 Fisica1-Cap8_48.png é submetida a um aumento de pressão de Fisica1-Cap8_49.png Pa, e o volume diminui em 0,45 Fisica1-Cap8_50.png. Qual é o módulo de compressão do material? Qual é a sua compressibilidade?

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5.    O braço humano: O braço na figura pesa 41,5 N. A força gravitacional sobre ele age pelo ponto A. Determine os módulos das forças de tensão Fisica1-Cap8_52.png, no músculo deltoide e Fisica1-Cap8_53.png exercida pelo ombro sobre o úmero (osso do antebraço) para manter o braço na posição mostrada.

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6.    Um objeto irregular: A figura indica o centro de gravidade de um objeto irregular de 5,00 kg. Você necessita mover o centro de gravidade por 2,20 cm para a esquerda, colando uma pequenina massa de 1,50 kg, que passará a ser considerada como parte do objeto. Onde você deve colar essa massa adicional?

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7.    Caminhão pendurado: Encontre a massa m do contrapeso necessário para equilibrar um caminhão com massa M = 1.500 kg sobre uma rampa de θ = 45º. Considere que ambas as polias são sem atrito nem massa.

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8.    O cavaleiro de Camelot: Sir Lancelot cavalga lentamente para fora do castelo em Camelot atravessando a ponte levadiço de 12,0 m de comprimento que passa sobre o fosso. Ele não sabe que seus inimigos enfraqueceram parcialmente o cabo que sustenta a extremidade frontal da ponte, de modo que ele deve se romper sob uma tensão de Fisica1-Cap8_57.png N. A ponte possui massa igual a 200 kg e o centro de gravidade está localizado em seu centro. Lancelot, sua lança, sua armadura e seu cavalo possuem massa igual a 600 kg. Verifique se o cabo se romperá antes que Lancelot atinja a extremidade da ponte. Caso ele se rompa, qual é a distância entre os centros de gravidade do cavalo e do cavaleiro no momento em que o cabo se rompe?

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9.    Subindo caixas: Dois amigos transportam uma caixa de 200 kg subindo os degraus de uma escada. A caixa possui 1,25 m de comprimento e altura de 0,500 m, com centro de gravidade localizado em seu centro. Os degraus da escada possuem uma inclinação de 45,0º com a horizontal, de modo que sua face inferior é paralela à inclinação da escada. Supondo que a força aplicada pelos amigos sobre a caixa possua direção vertical, qual é o módulo de cada uma dessas forças? Quem realiza mais esforço: o que está na parte de cima ou o que está na parte de baixo da escada?

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10.    O parque de diversões: Uma atração em um parque de diversões consiste em carrinhos em forma de avião ligados por cabos de aço. Cada cabo possui comprimento igual a 15,0 m e área da sua seção reta igual a 8,00 Fisica1-Cap8_60.png. (a) Ache a dilatação do cabo quando o carrinho está em repouso. (Suponha que o peso total de cada carrinho com dois passageiros seja igual a 1.900 N.); (b) Quando o brinquedo está em movimento, o carrinho gira com velocidade angular máxima de 12,0 rot/min. Qual é a dilatação do cabo nesse caso?

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