Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

7.  Cinemática e dinâmica das rotações

7.1  Introdução

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Figura 7.1: Padrão espiral da nossa galáxia Via-Láctea devido a sua rotação.

A rotação ocorre em todas as escalas, desde o movimento de elétrons em átomos ate movimentos de galáxias inteiras. Precisamos desenvolver métodos genéricos para analisar o movimento de corpos que giram.

Vamos considerar corpos com tamanho e forma definidos, que, no caso geral, podem possuir um movimento de rotação combinado com um movimento de translação. Vamos supor que o corpo possua uma forma definida e imutável. Esse modelo de corpo ideal denomina-se corpo rígido.

Também, vamos definir uma nova grandeza física, o torque, que descreve a ação giratória ou o efeito de torção de uma força. Em seguida, desenvolveremos um novo principio de conservação, a conservação do momento angular, que e extremamente útil para entender o movimento de rotação de corpos rígidos e não rígidos.

7.2  Cinemática das rotações

Quando um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo (geralmente designado como eixo z), sua posição é descrita por uma coordenada angular θ.

A velocidade angular Fisica1-Cap7_2.png é definida como a derivada da coordenada θ em relação ao tempo, e a aceleração angular Fisica1-Cap7_3.png é definida como a derivada da velocidade angular Fisica1-Cap7_4.png ou a derivada de segunda ordem da coordenada angular de θ.

Se a aceleração angular é constante, então θ, Fisica1-Cap7_5.png e Fisica1-Cap7_6.png são relacionadas por equações cinemáticas simples, semelhantes aquelas para o movimento retilíneo com aceleração linear constante.

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Figura 7.2: Relações cinemáticas para as rotações.

Demonstração Computacional 7.1: Rotações não comutam

Exemplo 7.1: Volante de automóvel

A posição angular θ de um volante de automóvel com 0,36 m de diâmetro é dada por:

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(a) Ache o ângulo θ, em radianos e em graus, nos instantes Fisica1-Cap7_10.png = 2,0 s e Fisica1-Cap7_11.png = 5,0 s.
(b) Ache a distância percorrida por uma partícula na periferia do volante nesse intervalo.
(c) Calcule a velocidade angular média, em rad/s e em rot/min (rpm), nesse intervalo.
(d) Ache as velocidades angulares instantâneas para  Fisica1-Cap7_12.png = 2,0 s e Fisica1-Cap7_13.png = 5,0 s.
(e) Ache a aceleração angular média entre  Fisica1-Cap7_14.png = 2,0 s e Fisica1-Cap7_15.png = 5,0 s.
(f) Ache as acelerações angulares instantâneas para  Fisica1-Cap7_16.png = 2,0 s e Fisica1-Cap7_17.png = 5,0 s.

Exercício 7.1: O Blu-Ray

Você acabou de assistir a um filme em Blu-Ray, e o disco está diminuindo a rotação para parar. A velocidade angular do disco no instante t = 0 é igual a 27,5 rad/s e sua aceleração angular é uma constante e igual a 10,0 rad/Fisica1-Cap7_18.png. Uma linha PQ na superfície do disco coincide com o eixo+Ox no instante t = 0.
(a) Qual é a velocidade angular do disco no instante t = 0,330 s?
(b) Qual é o ângulo formado entre a linha PQ e o eixo+Ox nesse instante?

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7.3  Relação entre cinemática linear e angular

A velocidade angular ω de um corpo rígido é o módulo de sua velocidade angular.

A taxa de variação de Fisica1-Cap7_20.png é α=dω/dt.

Para uma partícula do corpo que esteja a uma distancia r do eixo de rotação, a velocidade v e os componentes da aceleração Fisica1-Cap7_21.png estão relacionados a ω e α.

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Figura 7.3: O vetor aceleração.

Demonstração Computacional 7.2: Hélices

Exemplo 7.2: Projeto de uma hélice

Você está projetando a hélice de um avião que deve girar a 2.400 rpm. A velocidade do avião deve ser de 75,0 m/s, e a velocidade da extremidade da lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. (Isso é cerca de 80% da velocidade do som no ar. Se as extremidades das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas produziriam um ruído muito alto.)
(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?
(b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice?

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Exercício 7.2: Lançamento de um disco

Um atleta lança um disco ao longo de uma circunferência de raio igual a 80 cm. Em um dado instante, o lançador gira com velocidade angular de 10,0 rad/s, que aumenta a uma taxa de 50 rad/Fisica1-Cap7_25.png. Nesse instante, determine os componentes tangencial e centrípeto da aceleração do disco e o módulo da aceleração.

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7.4  Momento de inércia e energia cinética da rotação

O momento de inércia I de um corpo girando em torno de um dado eixo é uma medida de sua inercia rotacional: quanto maior for o momento de inércia, mais difícil será alterar o estado de rotação do corpo.

O momento de inercia pode ser expresso como uma soma das partículas Fisica1-Cap7_27.png que compõem o corpo, cada qual em sua propria distância perpendicular Fisica1-Cap7_28.png do eixo.

A energia cinêtica na rotação de um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo depende da velocidade angular ω e do momento de inercia I para esse eixo de rotação.

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Figura 7.4: O momento de inercia e a energia de rotação.

Demonstração Computacional 7.3: Momento de inercia: partículas

Exemplo 7.3: Um bastão incomum

Quatro esferas minúsculas são amarradas às extremidades de duas barras de massa desprezível em um plano xy para formar um bastão incomum. Vamos supor que os raios das esferas são pequenos comparados com as dimensões das barras.
(a) Se o sistema gira sobre o eixo y (Fig. a) com velocidade angular ω, encontre o momento de inércia e a energia cinética rotacional do sistema sobre este eixo. E sobre o eixo x?
(b) Suponha que o sistema gire no plano xy sobre um eixo (o eixo z) pelo centro do bastão (Fig. b). Calcule o momento de inércia e a energia cinética rotacional sobre este eixo.

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Exercício 7.3: Peça de máquina

Certa peça de uma máquina consiste em três discos ligados por suportes leves, como mostra a figura.
(a) Qual é o momento de inércia desse corpo em relação a um eixo 1 que passa pelo centro do disco A, perpendicular ao plano do desenho?
(b) Qual é o momento de inércia em torno de um eixo 2 que passa pelos centros dos discos B e C ?
(c) Qual é a energia cinética do corpo se ele gira em torno do eixo 1 com velocidade angular ω = 4,0 rad/s?

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7.5  Cálculo do momento de inércia

Se o corpo possui uma distribuição de massa continua, o momento de inercia pode ser calculado pela integração.

Como o corpo não pode ser representado por massas puntiformes, então, a soma das massas e distâncias que definem o momento de inércia se transforma em uma integral.

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Figura 7.5: O momento de inercia para um corpo rígido.

Demonstração Computacional 7.4: Momento de inercia: corpo contínuo

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Figura 7.6: Momentos de inércia de diversos corpos.

Um corpo rígido não possui somente um momento de inércia. De fato, ele possui um número infinito de momentos de inércia, porque existe um número infinito de eixos de rotação.

O teorema dos eixos paralelos relaciona os momentos de inercia de um corpo rígido de massa M em torno de dois eixos paralelos: um que passa através de seu centro de massa (momento de inercia Fisica1-Cap7_37.png) e um paralelo situado a uma distancia d do primeiro eixo (momento de inercia Fisica1-Cap7_38.png).

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Figura 7.7: (a) Um corpo rígido com formato arbitrário. A origem do sistema de coordenadas não está no centro de massa do corpo. Imagine-o girando sobre o eixo z. (b) Todos os elementos de massa dele desmoronam paralelo ao eixo z para formar um corpo planar, (c) Um elemento de massa arbitrária dm é indicado em azul nesta vista para baixo do eixo z. O teorema dos eixos paralelos pode ser usado com a geometria mostrada para determinar o momento de inércia do corpo original sobre o eixo z.

Exemplo 7.4: Momento de inercia de um cilindro

A figura mostra um cilindro oco com densidade de massa uniforme ρ e comprimento L, raio interno Fisica1-Cap7_40.png e raio externo Fisica1-Cap7_41.png. (Esse objeto poderia ser um cilindro de aço para máquina de impressão.) Usando a integração, determine seu momento de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro.

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Exercício 7.4: Barra rígida uniforme I

Calcule o momento de inércia de uma barra rígida uniforme de comprimento L e massa M sobre um eixo perpendicular à barra (o eixo y’ ) e passando por seu centro de massa.

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Exemplo 7.5: A peça mecânica

Uma das peças de uma articulação mecânica possui massa igual a 3,6 kg. Medimos seu momento de inércia em relação a um eixo situado a uma distância de 0,15 m de seu centro de massa e encontramos o valor Fisica1-Cap7_44.png 0,132 kg · Fisica1-Cap7_45.png. Qual é o momento de inércia Fisica1-Cap7_46.png em relação a um eixo paralelo que passa pelo centro de massa?

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Exercício 7.5: Barra rígida uniforme II

Considere novamente a barra rígida uniforme de massa M e comprimento I mostrada na figura. Encontre o momento de inércia da barra sobre um eixo perpendicular a ela por uma extremidade (o eixo y).

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7.6  Torque e dinâmica da rotação

Quando uma força Fisica1-Cap7_49.png atua sobre um corpo, o torque τ dessa força em relação a um ponto O possui um módulo dado pelo produto do módulo de força F e o braço da alavanca l : τ = Fl

O vetor torque Fisica1-Cap7_50.png possui a mesma direção do eixo de rotação, sendo seu sentido dado pela regra da mão direita.

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Figura 7.8: (Esquerda) O torque de uma força em relação a um ponto é o produto do módulo da força pelo braço da alavanca. (Direita) O vetor torque aponta na direção ao longo do eixo do parafuso, perpendicular tanto a força quanto a distância. Os dedos da mão direita se encurvam na direção da rotação que o torque tende a causar.

De acordo com uma definição generalizada, o vetor torque Fisica1-Cap7_52.png é igual ao produto vetorial de Fisica1-Cap7_53.png (o vetor posição do ponto em que a força atua) por Fisica1-Cap7_54.png.

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Figura 7.9: O vetor torque.

Demonstração Computacional 7.5: Torque em relação a um ponto

O análogo rotacional da segunda lei de Newton diz que o torque resultante que atua sobre um corpo é igual ao produto do momento de inércia do corpo pela sua aceleração angular.

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Figura 7.10: Enquanto um corpo rígido gira em torno do eixo z, uma força resultante Fisica1-Cap7_58.png atua sobre uma partícula do corpo. Somente o componente da força  Fisica1-Cap7_59.png pode afetar a rotação, porque somente ele exerce um torque em torno de O com um componente z (ao longo do eixo de rotação).

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Figura 7.11: Torque e momento de inercia.

Exemplo 7.6: Barra girando

Uma barra uniforme de comprimento L e massa M é presa em uma extremidade de um pivô sem atrito e está livre para girar num eixo que passa pelo centro no plano vertical. A barra é liberada do repouso na posição horizontal.
(a) Quais são as acelerações angular inicial da barra e translacional inicial de sua extremidade direita?
(b) E se colocássemos uma moeda na extremidade da barra e então a soltássemos? A moeda permaneceria em contato com a barra

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Exercício 7.6: Bombeiro hidráulico

Um bombeiro hidráulico, incapaz de afrouxar a conexão de um tubo, encaixa um pedaço de tubo de sucata (uma “alavanca”) sobre a haste do grifo. A seguir, ele usa todo seu peso de 900 N, ficando em pé na extremidade da alavanca. A distância entre o centro da conexão e o ponto onde o peso atua é igual a 0,80 m, e o eixo da alavanca faz um ângulo de 19º com a horizontal. Calcule o módulo, a direção e o sentido do torque que ele aplica em torno do centro da conexão do tubo.

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7.7  Rolamento

Quando um corpo rígido possui simultaneamente movimentos de rotação e de translação, a energia cinética pode ser expressa como a soma da energia cinética da translação do centro de massa e da energia cinética da rotação em torno de um eixo passando pelo centro de massa. Assim, a energia cinética total é uma soma das energias cinéticas de translação e rotação.

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Figura 7.12: O movimento de uma roda girando é a soma do movimento de translação do centro de massa com o movimento de rotação da roda em torno do centro de massa.

Demonstração Computacional 7.6: Rolamento de uma roda

Em termos da dinâmica, a segunda lei de Newton descreve o movimento do centro de massa, e o equivalente rotacional da segunda lei de Newton descreve a rotação do centro de massa.

No caso do rolamento sem deslizamento, há uma relação especial entre o movimento do centro de massa e o movimento de rotação.

Quando um corpo rígido muda de altura à medida que se move, devemos levar em conta a energia potencial gravitacional.

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Figura 7.13: Energia cinética de rolamento.

Exemplo 7.7: Corpos rolando

Em uma demonstração durante a aula de física, o professor faz uma “competição” entre vários corpos rígidos arredondados, deixando-os rolar do alto de um plano inclinado. Qual é a forma do corpo que alcança primeiro a parte inferior do plano inclinado?

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Exercício 7.7: Velocidade de um ioiô

Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de um cilindro de massa M e raio R. Você mantém a extremidade do fio presa enquanto o cilindro é liberado do repouso. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata à medida que o cilindro cai e gira. Use considerações de energia para achar a velocidade Fisica1-Cap7_68.png do centro de massa do cilindro sólido depois que ele caiu até uma distância h.

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Exemplo 7.8: A bola de boliche

Uma bola de boliche sólida desce sem deslizar pela rampa de retorno ao longo da pista inclinada a um ângulo β com a horizontal. Qual é a aceleração da bola e o módulo da força de atrito sobre a bola? Considere a bola como uma esfera sólida homogénea, desprezando seus orifícios.

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Exercício 7.8: Aceleração de um ioiô

Para o ioiô primitivo do Exercício 7.7, ache a aceleração de cima para baixo do cilindro e a tensão no fio.

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7.8  Trabalho realizado por um torque

Um torque que atua sobre um corpo rígido enquanto este gira realiza trabalho sobre esse corpo. O trabalho pode ser expresso como uma integral do torque.

Segundo o teorema do trabalho-energia, o trabalho rotacional total realizado sobre um corpo rígido é igual à variação da energia cinética na rotação.

A potência, ou a taxa em que o torque realiza trabalho, é o produto do torque pela velocidade angular.

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Figura 7.14: Trabalho e Potência de rolamento.

A tabela abaixo mostra equações úteis para movimento rotacional e translacional. Note a semelhança entre estas relações dinâmicas.

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Figura 7.15: Comparação entre movimento rotacional e translacional.

Exemplo 7.9: A máquina de Atwood

Dois blocos com massas diferentes Fisica1-Cap7_74.png e Fisica1-Cap7_75.png, são conectados por um fio passando por uma roldana, como mostra a figura. A roldana tem raio R e momento de inércia I em seu eixo de rotação. O fio não escorrega na roldana, e o sistema é liberado do repouso. Encontre as velocidades translacionais de ambos depois que o bloco 2 desce por uma distância h, e encontre a velocidade angular da roldana neste momento.

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Exercício 7.9: O motor elétrico

Um motor elétrico exerce um torque constante de 10 N·m sobre um rotor de esmeril, que possui um momento de inércia de 2,0 kg·Fisica1-Cap7_77.png em torno de seu eixo. O sistema parte do repouso. Ache o trabalho W realizado pelo motor em 8,0 s e a energia cinética K do rotor nesse momento. Qual é a potência média Fisica1-Cap7_78.png entregue pelo motor?

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7.9  Momento angular

O momento angular de uma partícula em relação a um ponto O é o produto vetorial do vetor posição Fisica1-Cap7_80.png da partícula em relação a O pelo seu momento linear Fisica1-Cap7_81.png.

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Figura 7.16: Torque e momento angular.

Quando um corpo simétrico gira em torno de um eixo de simetria fixo, seu momento angular é dado pelo produto de seu momento de inércia pelo seu vetor velocidade angular Fisica1-Cap7_83.png.

Quando um corpo não é simétrico ou o eixo de rotação (z) não é um eixo de simetria, o componente do momento angular em torno do eixo de rotação é igual a Fisica1-Cap7_84.png.

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Figura 7.17: Momento angular e momento de inercia.

Demonstração Computacional 7.7: Momento angular: partícula

Exemplo 7.10: Momento angular de uma partícula

Uma partícula se move no plano xy em uma trajetória circular de raio r, como mostra a figura. Encontre o módulo e a direção de seu momento angular em relação a um eixo que passa por O quando sua velocidade é Fisica1-Cap7_88.png.

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Demonstração Computacional 7.8: Momento angular: corpo rígido

Exercício 7.10: Uma bola de boliche

Uma bola de boliche típica pode ter uma massa de 7,0 kg e um raio de 12 cm. Estime o módulo do momento angular de uma bola de boliche girando a 10 rev/s, como mostra a figura.  

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7.10  Dinâmica e conservação do momento angular

O torque resultante externo que atua sobre um sistema é igual à taxa de variação de seu momento angular.

Quando o torque resultante externo que atua sobre um sistema é igual a zero, o momento angular total do sistema é constante (se conserva).

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Figura 7.18: Conservação de momento angular.

Exemplo 7.11: Um sistema de corpos

Uma esfera de massa Fisica1-Cap7_94.png e um bloco de massa Fisica1-Cap7_95.png são conectados por um cabo leve que passa sobre uma polia, como mostra a figura. O raio da polia é R e a massa do aro fino é M. Os raios da polia têm massa desprezível. O bloco desliza em uma superfície horizontal sem atrito. Encontre uma expressão para a aceleração linear dos dois corpos utilizando os conceitos de momento angular e torque.

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Exercício 7.11: Uma turbina

A hélice da turbina de um motor a jato possui momento de inércia 2,5 kg·Fisica1-Cap7_97.png em torno do eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, sua velocidade angular em função do tempo é dada por Fisica1-Cap7_98.png, como mostrado na figura.
(a) Calcule o momento angular da hélice em função do tempo e ache seu valor no instante t = 3,0 s.
(b) Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para t = 3,0 s.

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Demonstração Computacional 7.9: Conservação do momento angular

Exemplo 7.12: Formação de uma estrela de nêutron

Uma estrela gira por um período de 30 dias em torno de um eixo que passa por seu centro. O período é o intervalo de tempo necessário para um ponto no equador da estrela efetuar uma volta completa em torno do eixo de rotação. Depois que a estrela sofre uma explosão supernova, o núcleo estelar, que tinha um raio de Fisica1-Cap7_101.png km, sofre colapso em uma estrela de nêutron de raio 3,0 km. Determine o período de rotação da estrela de nêutron.

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Exercício 7.12: O professor bailarino

Um professor de física está em pé sobre o centro de uma mesa giratória, mantendo os braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0 kg em cada mão. Ele está girando em torno de um eixo vertical e completa uma volta em 2,0 s. Calcule a nova velocidade angular do professor, quando ele aproxima os dois halteres do abdome. Seu momento de inércia (sem os halteres) é igual a 3,0 kg·Fisica1-Cap7_103.png, quando seus braços estão estendidos, diminuindo para 2,2 kg·Fisica1-Cap7_104.png quando suas mãos estão próximas do abdome. Os halteres estão inicialmente a uma distância de 1,0 m do eixo e a distância final é igual a 0,20 m.

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Giroscópios e precessão: Em todas as situações analisadas até o momento, o eixo de rotação ou permanecia fixo ou se movia, porém mantendo sempre a mesma direção (como no caso do rolamento sem deslizamento). Entretanto, diversos fenómenos físicos novos, alguns até inesperados, podem ocorrer quando o eixo de rotação muda de direção.

Demonstração Computacional 7.10: O Giroscópio

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Figura 7.19: Rotação de giroscópio.

7.11  Problemas

1.    A plataforma: Uma plataforma giratória gira com aceleração angular constante de 2,25 rad/Fisica1-Cap7_108.png. Após 4,0 s, ela girou por um ângulo de 30,0 rad. Qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de 4,0 s?

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2.    O elevador antigo: Em um charmoso hotel do século XIX, um elevador antigo está conectado a um contrapeso por um cabo que passa por um disco giratório de 2,50 m de diâmetro. O elevador sobe e desce ao se girar o disco, e o cabo não desliza pela borda do disco, mas gira com ele. (a) A quantas rpm o disco deve girar para que o elevador suba a 25,0 cm/s? (b) Para colocar o elevador em movimento, ele deve ser acelerado a 18 g. Qual deve ser a aceleração angular do disco, em rad/Fisica1-Cap7_110.png? (c) A qual ângulo (em radianos e em graus) o disco girou, após levantar o elevador 3,25 m entre dois andares?

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3.    Hélice de avião: Uma hélice de avião possui comprimento igual a 2,08 m (de uma extremidade à outra) e massa de 117 kg. A hélice está girando a 2.400 rot/min em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Considere a hélice como uma barra delgada. (a) Qual é sua energia cinética de rotação? (b) Suponha que, em virtude de restrições de peso, você teve de reduzir a massa da hélice a 75,0% da sua massa original, mas precisou manter os mesmos tamanho e energia cinética. Qual deveria ser sua velocidade angular, em rpm?

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4.    Estrelas de nêutrons e restos de supernovas: A nebulosa do Caranguejo é uma nuvem de gás luminoso que possui uma extensão de 10 anos-luz, localizada a uma distância aproximadamente igual a 6.500 anos-luz da Terra. São os restos da explosão de uma supernova, observada da Terra no ano de 1054. A nebulosa do Caranguejo libera energia com uma taxa aproximada de Fisica1-Cap7_113.png W, cerca de Fisica1-Cap7_114.png vezes maior que a taxa de emissão de energia do Sol. A nebulosa do Caranguejo obtém essa energia da energia cinética da rotação muito rápida de uma estrela de nêutrons que existe em seu centro. Esse objeto completa um giro a cada 0,0331 s, e esse período cresce Fisica1-Cap7_115.png s a cada segundo que se passa. (a) Supondo que a taxa de energia perdida pela estrela de nêutrons seja igual à taxa com a qual a energia é libertada pela nebulosa, calcule o momento de inércia da estrela de nêutrons. (b) Teorias de supernovas afirmam que a estrela de nêutrons na nebulosa do Caranguejo possui massa aproximadamente igual a 1,4 vez a massa do Sol. Modelando a estrela de nêutrons como uma esfera uniforme, calcule seu raio em quilómetros. (c) Qual é a velocidade linear de um ponto sobre o equador da estrela de nêutrons? Compare o resultado com a velocidade da luz. (d) Suponha que a estrela de nêutrons seja uniforme e calcule sua densidade. Compare o resultado com a densidade de uma rocha comum (3.000 kg/Fisica1-Cap7_116.png) e com a densidade do núcleo de um átomo) (cerca de Fisica1-Cap7_117.png kg/Fisica1-Cap7_118.png). Justifique a afirmação de que uma estrela de nêutrons é essencialmente um enorme núcleo atómico.

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5.    A ferramenta:  Um operário está usando uma chave de boca para afrouxar uma porca. A ferramenta tem 25,0 cm de comprimento, e ele exerce uma força de 17,0 N sobre a extremidade do cabo, formando um ângulo de 37º com o cabo. (a) Qual o torque que o operário exerce sobre o centro da porca? (b) Qual o torque máximo que ele pode exercer com essa força, e como a força deve ser orientada?

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6.    Estação espacial:  Uma estação espacial é construída na forma de um anel oco de massa Fisica1-Cap7_121.png kg. Membros da tripulação caminham em um deque formado pela superfície interna da parede do cilindro externo do anel, com raio r = 100 m. Em repouso quando construído, o anel é colocado em rotação em torno de seu eixo de maneira que as pessoas dentro sofram uma aceleração de queda livre efetiva igual a g. A rotação é conseguida disparando-se dois pequenos foguetes presos tangencialmente opostos na borda do anel. (a) Que momento angular a estação espacial adquire? (b) Para que intervalo de tempo os foguetes devem ser disparados se cada um exerce um impulso de 125 N?

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7.    A pedra:  Uma pedra de 2,00 kg possui uma velocidade horizontal com módulo de 12,0 m/s quando está no ponto P na figura. (a) Nesse instante, qual é o módulo, a direção e o sentido de seu momento angular em relação ao ponto O? (b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu peso, qual é a taxa de variação (módulo, direção e sentido) do momento angular nesse instante?

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8.    Colisão de um asteroide!  Suponha que um asteroide se desloque diretamente para o centro da Terra e venha a colidir com o nosso planeta na altura da linha do Equador, penetrando na superfície terrestre. Qual teria de ser a massa desse asteroide, em relação à massa M da Terra, para que o dia ficasse 25% mais longo do que atualmente, em decorrência da colisão? Suponha que o asteroide seja muito pequeno em comparação com a Terra e que esta seja homogénea.

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9.    Discos:  Um disco de massa Fisica1-Cap7_125.png = 80,0 g e raio Fisica1-Cap7_126.png = 4,00 cm desliza em uma mesa de ar com uma velocidade escalar v = 1,50 m/s, como mostrado na figura. Ele sofre uma colisão com um segundo disco de raio Fisica1-Cap7_127.png = 6,00 cm e massa Fisica1-Cap7_128.png =120,0 g (inicialmente em repouso) de tal forma que suas bordas apenas se tocam. Como suas bordas são cobertas com cola de ação instantânea, os discos grudam e giram após a colisão. (a) Qual é o momento angular do sistema em relação ao centro de massa? (b) Qual é a velocidade angular em torno do centro de massa?

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10.    Estabilização do Telescópio Espacial Hubble:  O Telescópio Espacial Hubble é estabilizado até um ângulo de cerca de 2 milionésimos de grau por meio de uma série de giroscópios que rodam a 19.200 rpm. Embora a estrutura desses giroscópios seja mesmo bastante complexa, podemos modelar cada um deles como um cilindro de paredes finas com massa de 2,0 kg e diâmetro de 5,0 cm, girando em torno de seu eixo central. Qual deveria ser a intensidade de um torque para fazer com que esses giroscópios realizassem precessão por um ângulo de Fisica1-Cap7_130.png grau durante uma exposição de 5,0 horas de uma galáxia?

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