Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

6.  Momento Linear, Impulso e Colisões

6.1  Introdução

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Figura 6.1: Colisão de partículas elementais no LHC.

O QUE É QUANTIDADE DE MOVIMENTO?

Há muitas questões envolvendo forças que não podem ser solucionadas com a aplicação direta da segunda lei de Newton. Isto, porque tem fenómenos que envolvem forças sobre as quais pouco se sabe.

Aqui usaremos dois conceitos novos, o momento linear e o impulso, e uma nova lei da conservação, a lei da conservação do momento linear. Essa lei da conservação é tão importante quanto a lei da conservação da energia.

6.2  Momento Linear de uma Partícula

No capítulo anterior reformulamos a segunda lei de Newton em termos do teorema do trabalho-energia. Esse teorema nos auxiliou no tratamento de um grande número de problemas e nos conduziu ao princípio da conservação da energia. Vamos retornar à expressão da segunda lei de Newton e mostrar, ainda, outro modo útil de reformular essa lei fundamental.

DEFINIÇÃO

O momento linear Fisica1-Cap6_2.png de uma partícula é uma grandeza vetorial definida pelo produto da massa m e da velocidade Fisica1-Cap6_3.png da partícula.

As unidades do módulo do momento linear são unidades de massa vezes a velocidade; no SI, as unidades de momento linear são dadas por kg · m/s = N · s.

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Figura 6.2: Definição de momento linear de uma partícula.

Em geral, expressamos o momento linear de uma partícula em termos dos seus componentes:

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Figura 6.3: Momento linear de uma partícula é um vetor.

De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante que atua sobre uma partícula é igual à taxa de variação em seu momento linear.

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Figura 6.4: Segunda lei de Newton em termos do momento linear.

Foi esta forma que Newton usou no enunciado de sua segunda lei (embora ele chamasse o momento linear de “quantidade de movimento”). Essa lei vale somente para sistemas de referência inerciais.

6.3  Impulso e Momento Linear

O momento linear Fisica1-Cap6_8.png (grandeza vetorial) a energia cinética de uma partícula K (grandeza escalar) dependem da massa e da velocidade da partícula. Para constatar a diferença física entre o momento linear e a energia cinética, é necessário definir uma grandeza intimamente relacionada com o momento linear, denominada impulso.

PROPRIEDADES DO IMPULSO

O impulso Fisica1-Cap6_9.png é o produto de uma força resultante constante Fisica1-Cap6_10.png que atua sobre uma partícula durante um intervalo Δt, entre Fisica1-Cap6_11.png e Fisica1-Cap6_12.png.

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Figura 6.5: Definição de impulso.

Quando Fisica1-Cap6_14.png varia com o tempo, Fisica1-Cap6_15.png é a integral da força resultante no decorrer do intervalo. Em todo caso, a variação do momento linear de uma partícula em um dado intervalo é igual ao impulso da força resultante que atua sobre a partícula nesse intervalo.

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Figura 6.6: Impulso como variação do momento linear.

Demonstração Computacional 6.1: Impulso, força média e variação do momento linear.

TEOREMA DO IMPULSO-MOMENTO LINEAR

O momento linear de uma partícula é igual ao impulso necessário para acelerá-la desde o repouso até sua velocidade final. Este é o teorema do impulso-momento linear, que também é válido quando as forças não são constantes:

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Figura 6.7: Teorema de Impulso-Momento Linear para uma força geral.

O impulso e o momento linear são grandezas vetoriais, e as relações acima são equações vetoriais. Geralmente, é mais fácil usá-las na forma dos componentes (com relações análogas para o componente z):

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Figura 6.8: O significado da área sob um gráfico de força contra tempo.

Exemplo 6.1: Uma bola de futebol

(a)    Suponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma parede. Ela colide com a parede quando está se movendo horizontalmente para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente para a direita a 20 m/s. Calcule o impulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão com a parede. Sabendo que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache a força horizontal média que a parede exerce sobre a bola durante a colisão.

(b)    Suponha que inicialmente, a bola se desloca da direita para a esquerda a 20 m/s e a seguir é chutada, deslocando-se 45º para cima e para a direita, com velocidade igual a 30 m/s. Calcule o impulso da força resultante e a força resultante média, supondo o mesmo tempo de colisão.

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Exercício 6.1: Quão bons são os para-choques?

Em um teste de colisão, um carro de massa 1.500 kg colide com um muro, como mostra a figura. As velocidades inicial e final do carro são Fisica1-Cap6_21.png m/s  e  Fisica1-Cap6_22.png m/s, respetivamente.

(a)    Se a colisão dura 0,150 s, encontre o impulso causado pela colisão e a força resultante média exercida sobre o carro.
(b)    Se o carro não retornasse depois de bater no muro? Suponha que a velocidade final do carro seja zero e que o intervalo de tempo da colisão permaneça 0,150 s. Isto representaria uma força resultante maior ou menor sobre o carro?

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6.4  Lei da Conservação do Momento Linear

O conceito de momento linear é particularmente importante quando ocorre interação entre dois ou mais corpos. A lei da conservação do momento linear é útil em situações nas quais as leis de Newton são inadequadas, como no caso de corpos que se deslocam com velocidades muito elevadas (próximas a velocidade da luz), ou então para corpos microscópicos (como as partículas que constituem o átomo).

DEFINIÇÕES

Força interna é uma força exercida por uma parte de um sistema sobre outra parte do mesmo sistema.

Força externa é uma força exercida por algo fora de um sistema sobre uma parte do sistema.

Sistema isolado é quando não existe nenhuma força externa atuando sobre o sistema.

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Figura 6.9: Esquerda - Dois astronautas empurram-se mutuamente enquanto estão em uma região do espaço sem campo gravitacional (sistema isolado). Direita - Dois patinadores empurram-se mutuamente enquanto deslizam ao longo de uma superfície horizontal sem atrito (sistema não isolado).

CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR

Caso a força resultante externa que atua sobre um sistema seja igual a zero, o momento linear total do sistema Fisica1-Cap6_25.png (a soma vetorial dos momentos lineares de cada partícula que compõe o sistema) é constante ou conservado.

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Podemos generalizar esse princípio para um sistema contendo um número qualquer de partículas A, B, C, ... que interagem apenas mediante forças internas. O momento linear total desse sistema é dado por

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Figura 6.10: Momento linear total de um sistema de partículas.

Logo, a taxa de variação do momento linear total do sistema inteiro é igual a zero quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre ele é zero. Cada componente do momento linear total do sistema é conservado separadamente.

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Demonstração Computacional 6.2: Conservação do momento linear.

De certo modo, a lei da conservação do momento linear é mais geral que o princípio da conservação da energia mecânica. Por exemplo, a energia mecânica se conserva somente quando as forças internas são conservativas — isto é, quando elas permitem uma conversão recíproca nos dois sentidos entre energia cinética e energia potencial. Porém, a lei da conservação do momento linear vale mesmo quando existem forças que não são conservativas.

Exemplo 6.2: Luta de robôs

A figura mostra dois robôs em combate que deslizam sobre uma superfície sem atrito. O robô A, com massa de 20 kg, move-se com velocidade de 2,0 m/s paralelamente ao eixo Ox. Ele colide com o robô B, com massa de 12 kg, que está inicialmente em repouso. Depois da colisão, verifica-se que a velocidade do robô A é de 1,0 m/s, com uma direção que faz um ângulo de 30º com a direção inicial. Qual é a velocidade final do robô B?

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Exercício 6.2: O rifle

Um atirador segura um rifle de massa Fisica1-Cap6_30.png = 3,0 kg frouxamente, de modo que a arma possa recuar livremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa Fisica1-Cap6_31.png = 5,0 g horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por Fisica1-Cap6_32.png = 300 m/s. Qual é a velocidade de recuo Fisica1-Cap6_33.png do rifle? Quais são os valores da energia cinética final e do momento linear total final da bala? E do rifle?

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6.5  Colisões

Uma colisão é qualquer vigorosa interação entre dois corpos com uma duração relativamente curta. Portanto, incluímos não apenas acidentes envolvendo automóveis, mas, também, bolas que colidem em uma mesa de bilhar, nêutrons que se chocam com núcleos atómicos em um reator nuclear, o impacto de um meteoro na superfície terrestre e a chegada de uma nave espacial nas proximidades da superfície de Saturno.

PROPRIEDADES

Em colisões de qualquer tipo, os momentos lineares inicial e final são iguais.

Em uma colisão elástica entre dois corpos, a energia cinética total final também é igual a energia cinética total inicial, e as velocidades relativas inicial e final possuem módulos iguais.

Em uma colisão inelástica entre dois corpos, a energia cinética total final é menor que a energia cinética total inicial.

Quando os dois corpos possuem a mesma velocidade final, a colisão é completamente inelástica.

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Figura 6.11: Classificação de colisões em uma dimensão.

Demonstração Computacional 6.3: Colisões de partículas

COLISÕES EM 1D

Colisões perfeitamente inelásticas:

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Colisões elásticas:

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Colisão elástica: partícula 2 inicialmente em repouso:

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Exemplo 6.3: Os cavaleiros

Dois cavaleiros com massas diferentes se deslocam em sentidos contrários em um trilho de ar linear sem atrito. Suponha que na colisão os dois cavaleiros não sejam rebatidos, mas permaneçam colados após a colisão. Calcule a velocidade final e compare a energia cinética inicial com a final.

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Exercício 6.3: Faça seguro contra colisão!

Um carro de 1.800 kg parado em um semáforo é atingido na parte de trás por outro de 900 kg. Os dois ficam presos, movendo-se ao longo do mesmo caminho que o carro que se movia inicialmente.
(a)    Se o carro menor estivesse se movendo a 20,0 m/s antes da colisão, qual é a velocidade dos carros emaranhados após a colisão?
(b)    Suponha que invertamos as massas dos carros. E se um carro de 900 kg em repouso for atingido por outro em movimento de 1.800 kg? A velocidade escalar final é a mesma que antes?

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COLISÕES EM 2D

Um importante subconjunto de colisões ocorre em um plano. Para qualquer colisão de duas partículas, o momento em cada uma das direções x, y e z é conservado.

Demonstração Computacional 6.4: Conservação do momento linear em um plano.

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Figura 6.12: Colisões em duas dimensões. Os ângulos de espalhamento são diferentes para cada partícula.

Para tais colisões bidimensionais, obtemos duas equações de componentes para a conservação do momento:

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Vamos considerar um problema bidimensional específico no qual a partícula 1 de massa Fisica1-Cap6_43.png colide com a partícula 2 de massa Fisica1-Cap6_44.png inicialmente em repouso,

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Se a colisão for elástica, podemos utilizar também a conservação da energia cinética com Fisica1-Cap6_46.png:

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Exemplo 6.4: O pêndulo balístico

A figura mostra um pêndulo balístico, um sistema simples para medir a velocidade de uma bala. A bala, com massa Fisica1-Cap6_48.png, é disparada contra um bloco de madeira com massa Fisica1-Cap6_49.png, suspenso como um pêndulo, com o qual produz uma colisão completamente inelástica. Depois do impacto com a bala, o bloco oscila atingindo uma altura máxima y. Conhecendo-se os valores de y, Fisica1-Cap6_50.png e Fisica1-Cap6_51.png, qual é a velocidade inicial Fisica1-Cap6_52.png da bala?

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Demonstração Computacional 6.5: Pêndulo balístico.

Exercício 6.4: Colisão em um cruzamento

Um carro de 1.500 kg viajando para o leste com velocidade escalar de 25,0 m/s colide em um cruzamento com um caminhão de 2.500 kg deslocando-se para o norte com uma velocidade escalar de 20,0 m/s, como mostrado na figura. Encontre a direção e o módulo da velocidade dos destroços após a colisão, considerando que os veículos ficaram unidos depois da batida.

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Demonstração Computacional 6.6: Colisão de carros.

6.6  Centro de Massa

Podemos reformular a lei da conservação do momento linear de um modo útil em termos do conceito de centro de massa. Considere diversas partículas de um sistema com massas e posições diferentes.

SISTEMA DISCRETO DE PARTÍCULAS

O vetor posição do centro de massa de um sistema de partículas, Fisica1-Cap6_55.png, é uma média ponderada das posições Fisica1-Cap6_56.png, Fisica1-Cap6_57.png, ... de cada partícula individual. Suas coordenadas bidimensionais e o vetor posição são:

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Figura 6.13: Vetor posição do centro de massa de um sistema discreto.

Demonstração Computacional 6.7: Centro de massa para um sistema discreto.

Exemplo 6.5: O centro de massa de três partículas

Um sistema consiste em três partículas localizadas como mostra a figura. Encontre o centro de massa do sistema. As massas das partículas são Fisica1-Cap6_60.png = 1,0 kg e  Fisica1-Cap6_61.png = 2,0 kg.

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Exercício 6.5: Centro de massa de uma molécula de água

A figura mostra a estrutura simplificada de uma molécula de água. A distância entre os átomos é dada por Fisica1-Cap6_63.png m. Cada átomo de hidrogénio possui massa igual a 1,0 u, e o átomo de oxigénio possui massa igual a 16,0 u. Calcule a posição do centro de massa.

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DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE MASSA

Para um corpo sólido, para o qual existe (pelo menos em nível macroscópico) uma distribuição contínua de massas, as somas indicadas acima devem ser substituídas por integrais.

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Figura 6.14: O centro de massa de um sistema continuo. A densidade de massa é importante.

Demonstração Computacional 6.8: Centro de massa para um sistema contínuo.

Exemplo 6.6: O centro de massa de uma barra

(a) Mostre que o centro de massa de uma barra de massa M e comprimento L fica a meio caminho entre suas extremidades, considerando que ela tenha massa uniforme por unidade de comprimento.
(b) Suponha que uma barra seja não uniforme, tal que sua massa por unidade de comprimento varie linearmente com x de acordo com a expressão λ = α x, onde α é uma constante. Encontre a coordenada x do centro de massa como uma fração de L.

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Exercício 6.6: O centro de massa de um triângulo retângulo

Pediram-lhe que pendurasse uma placa de sinalização por uma única corda vertical. A placa tem formato triangular, como mostra a figura. Sua parte inferior deve ser paralela ao chão. A que distância da extremidade da esquerda da placa você deve amarrar a corda de sustentação?

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MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA

O momento linear total Fisica1-Cap6_68.png de um sistema é igual a massa total do sistema M multiplicada pela velocidade Fisica1-Cap6_69.png do centro de massa do sistema, o qual se move como se a massa total do sistema M estivesse concentrada nesse ponto.

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Figura 6.15: Momento linear do centro de massa de um sistema continuo.

As equações anteriores fornecem a velocidade do centro de massa em termos das velocidades das partículas individuais. Prosseguindo mais um pouco, tomamos a derivada em relação ao tempo dessas equações para mostrar que as acelerações são relacionadas do mesmo modo.

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Então, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre todas as partículas é dada por (as forças internas se anulam por a terceira lei de Newton):

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Quando a força externa resultante sobre um sistema é igual a zero, a velocidade do centro de massa Fisica1-Cap6_74.png é constante.

Quando a força externa resultante é diferente de zero, o centro de massa acelera, como se fosse uma partícula de massa M sob ação da mesma força resultante externa.

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Figura 6.16: Um projétil explode no ar separando-se em dois fragmentos. Desprezando-se a resistência do ar, o centro de massa continua na mesma trajetória parabólica que descrevia antes da explosão.

Demonstração Computacional 6.9: Movimento do centro de massa de um foguete que explode.

Existe, ainda, mais um modo útil para descrevermos o movimento de um sistema de partículas. A segunda lei de Newton para o centro de massa é

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Esta equação descreve um sistema de partículas, como um corpo rígido. A interação entre as partículas de um sistema pode alterar os momentos individuais das partículas; porém, o momento linear total do sistema só pode ser alterado pela ação das forças externas ao sistema.

6.7  Propulsão de um Foguete

As considerações sobre o momento linear são particularmente úteis para analisarmos um sistema cuja massa das partes pode variar com o tempo. A propulsão de um foguete fornece um exemplo típico e interessante para esse tipo de análise.

CARACTERISTICAS DA PROPULSÃO

Na propulsão de um foguete, sua massa varia à medida que a massa do combustível é queimada e expelida.

A analise do movimento do foguete deve levar em conta o momento linear do próprio foguete, bem como o momento linear do combustível queimado e expelido.

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Figura 6.17: Propulsão de um foguete. A velocidade com a qual o foguete perde massa é a velocidade de exaustão.

Como um exemplo simples, consideramos um foguete disparado no espaço sideral, onde não existe nem resistência do ar nem força gravitacional. A força de propulsão do foguete, sua aceleração e velocidade, em termos da velocidade de exaustão relativa Fisica1-Cap6_78.png, são:

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Em aeronaves espaciais funcionais, essa razão de massas é projetada com o valor mais elevado possível para maximizar o ganho de velocidade, o que significa que quase toda a massa inicial do foguete se refere ao combustível.

Demonstração Computacional 6.10: Propulsão de um foguete.

Na análise feita, sempre imaginamos que o foguete se desloca no espaço vazio sem campo gravitacional. Contudo, quando um foguete é lançado da superfície de um planeta, devemos levar em conta a ação do campo gravitacional.

Exemplo 6.7: Um foguete no espaço sideral

Um foguete está no espaço sideral, longe de qualquer planeta, quando seu motor é acionado.
(a)    Na primeira etapa da queima (1 s), o foguete ejeta 1/120 de sua massa inicial Fisica1-Cap6_80.png com uma velocidade de exaustão relativa igual a 2.400 m/s. Qual é a aceleração inicial do foguete?
(b)    Suponha que 3/4 da massa inicial Fisica1-Cap6_81.png do foguete seja de combustível, de modo que o combustível seja consumido com uma taxa constante em um intervalo total de 90 s. A massa final do foguete é Fisica1-Cap6_82.png. Se o foguete parte do repouso em nosso sistema de coordenadas, calcule sua velocidade nesse instante final.

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Exercício 6.7: O impulso de um foguete

Um foguete movendo-se no espaço, longe de todos os outros corpos, tem uma velocidade escalar de Fisica1-Cap6_84.png m/s em relação à Terra. Seus motores são ligados e o combustível é expelido em uma direção oposta ao movimento do foguete, a uma velocidade escalar de Fisica1-Cap6_85.png m/s em relação ao foguete.
(a)    Qual é a velocidade escalar do foguete em relação à Terra, uma vez que a massa do foguete é reduzida à metade daquela de antes da ignição?
(b)    Qual é o impulso sobre o foguete (força exercida sobre ele pelos gases de exaustão) se ele queima combustível a uma taxa de 50 kg/s?

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6.8  Problemas

6.1    Biomecânica:  A massa de uma bola de ténis padrão é de 57 g (embora possa variar ligeiramente), e testes mostraram que a bola está em contato com a raquete por 30 ms. (Esse número também pode variar, dependendo da raquete e do movimento.) Vamos considerar um tempo de contato de 30,0 ms. A bola com o saque mais rápido que se conhece foi de “Big Bill” Tilden, em 1931, e sua velocidade foi medida em 73 m/s. (a) Que impulso e que força Big Bill exerceu sobre a bola de ténis nesse saque recorde? (b) Se o adversário de Big Bill retornasse esse saque com uma velocidade de 55 m/s, que força e que impulso ele teria exercido sobre a bola, considerando apenas o movimento horizontal?

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6.2    O Foguete: No instante t = 0, um foguete de 2.150 kg no espaço sideral aciona um motor que exerce uma força crescente sobre ele no sentido positivo de x. Essa força obedece à equação Fisica1-Cap6_88.png onde t é o intervalo, e Fisica1-Cap6_89.png possui módulo de 781,25 N quando t = 1,25 s. (a) Ache o valor da constante A, incluindo suas unidades no SI. (b) Qual é o impulso que o motor exerce sobre o foguete durante o intervalo de 1,50 s a partir de 2,0 s após a ignição do motor? (c) Qual é a variação da velocidade do foguete durante esse intervalo? Suponha massa constante.

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6.3    Colisão de asteroides: Dois asteroides de igual massa no cinturão entre Marte e Júpiter colidem entre si com um estouro luminoso. O asteroide A, que se deslocava inicialmente a 40,0 m/s, é desviado em 30,0º de sua direção original, enquanto o asteroide B se desloca a 45,0º da direção original de A. (a) Ache o módulo da velocidade de cada asteroide após a colisão. (b) Qual fração da energia cinética original do asteroide A se dissipa durante essa colisão?

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6.4    Missão “Impacto Profundo”: Em julho de 2005, a missão “Impacto Profundo”, da NASA, espatifou uma sonda de 372 kg contra o cometa Tempel 1, atingindo a superfície a 37.000 km/h. O módulo da velocidade original do cometa nesse instante era aproximadamente 40.000 km/h, e sua massa foi estimada na ordem de Fisica1-Cap6_92.png kg. Use o menor valor da massa estimada. (a) Qual variação na velocidade do cometa essa colisão produziu? Essa variação seria percetível? (b) Suponha que esse cometa fosse atingir a Terra e se fundir com ela. Em quanto ele alteraria a velocidade do nosso planeta? Essa mudança seria percetível? (A massa da Terra é Fisica1-Cap6_93.png kg.)

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6.5    Combinando leis da conservação: Um bloco de 15,0 kg é preso a uma mola horizontal muito leve com constante de força 500,0 N/m e está apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito. De repente, o bloco é atingido por uma pedra de 3,00 kg seguindo na horizontal a 8,00 m/s para a direita, quando a pedra recua a 2,00 m/s horizontalmente para a esquerda. Determine a distância máxima que o bloco comprimirá a mola após a colisão.

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6.6    Plutão e Charon: O diâmetro de Plutão é de aproximadamente 2.370 km, e o diâmetro de seu satélite Charon é 1.250 km. Embora haja variação, em geral eles estão a 19.700 km de distância, de um centro a outro. Supondo que Plutão e Charon possuam a mesma composição e, portanto, a mesma densidade média, ache a localização do centro de massa desse sistema em relação ao centro de Plutão.

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6.7    Hollywood: Um dublê de cinema (massa 80,0 kg) está em pé sobre a borda de uma janela situada a 5,0 m acima do piso. Segurando uma corda amarrada a um lustre, ele oscila para baixo para atingir o vilão do filme (massa 70,0 kg), que está em pé diretamente abaixo do lustre. (Suponha que o centro de massa do dublê se mova para baixo 5,0 m. Ele larga a corda no instante em que atinge o vilão.) (a) Com que velocidade os dois adversários engalfinhados começam a deslizar ao longo do piso? (b) Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre seus corpos e o piso é dado por Fisica1-Cap6_97.png = 0,250, até que distância eles deslizam ao longo do piso?

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6.8    Decaimento do nêutron:  Um nêutron em repouso decai (se rompe) para um próton e um elétron. Uma energia é liberada no processo de decaimento e se transforma em energia cinética do próton e do elétron. A massa de um próton é 1.836 vezes maior que a massa de um elétron. Qual fração da energia cinética total liberada se converte em energia cinética do próton?

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6.9    A canoa: Uma mulher de 45,0 kg está em pé em uma canoa de 60,0 kg com 5,00 m de extensão. Ela percorre de um ponto a 1,00 m de uma extremidade a um ponto a 1,00 m da outra extremidade. Se você ignorar a resistência ao movimento da canoa na água, o quanto a canoa se move durante esse processo?

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6.10    Fogos de artifício:  Um foguete de fogos de artifício é disparado verticalmente de baixo para cima com velocidade de 18,0 m/s e direção de 51,0º acima da horizontal. Durante o voo, o foguete explode e se parte em dois pedaços de mesma massa. (a) Qual é a distância horizontal desde o ponto de lançamento que o centro de massa das duas partes estará após elas terem parado no solo? (b) Se uma parte parar a uma distância horizontal de 26,0 m do ponto de lançamento, onde a outra parte parará?

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