Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

5.  Energia cinética e potencial

5.1  Introdução

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Figura 5.1: Fonte limpas de energia para uso quotidiano.

A importância do conceito de energia reside no princípio da conservação de energia: a energia é uma grandeza que pode ser convertida de uma forma para outra, mas que não pode ser criada nem destruída.

Em todos os processos físicos de interesse, a energia total permanece constante, ou seja, a soma de todas as formas de energia envolvidas permanece a mesma. Nenhuma exceção a essa conclusão jamais foi encontrada.

Concentraremos nossa atenção na mecânica. Aprenderemos a calcular duas formas importantes de energia, a chamada energia cinética, ou energia do movimento, e a energia potencial de um sistema. Expandiremos essas ideias para compreendermos mais a fundo a conservação de energia.

5.2  Trabalho realizado por uma força

Quando uma força constante Fisica1-Cap5_2.png atua sobre uma partícula enquanto ela sofre um deslocamento retilíneo Fisica1-Cap5_3.png, o trabalho realizado por essa força é definido como o produto escalar de Fisica1-Cap5_4.png e Fisica1-Cap5_5.png.

A unidade de trabalho no sistema SI é 1 Joule = 1 Newton · metro (1 J = 1 N · m).

O trabalho é uma grandeza escalar; ele possui um sinal algébrico (positivo ou negativo), mas não possui direção no espaço.

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Figura 5.2: Trabalho como uma grandeza escalar.

Demonstração Computacional 5.1: Trabalho como uma projeção de um vetor sobre outro.

Exemplo 5.1: Trabalho realizado por uma força constante

(a) Carlos exerce uma força uniforme de 210 N sobre um carro enguiçado, conforme o desloca por uma distância de 18 m. O carro também está com um pneu furado, de modo que, para manter o movimento retilíneo, Carlos deve empurrá-lo a um ângulo de 30º em relação à direção do movimento. Qual é o trabalho realizado por ele?

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(b) Disposto a cooperar mais, Carlos empurra outro carro enguiçado com uma força uniforme Fisica1-Cap5_9.png. O deslocamento do carro é Fisica1-Cap5_10.png. Qual é o trabalho realizado por Carlos neste caso?

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Exercício 5.1: O fazendeiro

Um fazendeiro engata um trenó carregado de madeira ao seu trator e o puxa até uma distância de 20 m ao longo de um terreno horizontal. O peso total do trenó carregado é igual a 14.700 N. O trator exerce uma força constante de 5.000 N, formando um ângulo de 36,9º acima da horizontal. Existe uma força de atrito de 3.500 N que se opõe ao movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza sobre o trenó e o trabalho total realizado por todas as forças.

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5.3  Energia cinética

A energia cinética K de uma partícula é igual ao trabalho realizado para acelerá-la a partir do repouso até a velocidade v. É também igual ao trabalho realizado para desacelerá-la até atingir o repouso.

A energia cinética é uma grandeza escalar que não possui direção no espaço; ela é sempre positiva ou nula.

Suas unidades no SI  são as mesmas de trabalho: 1 J = 1 N · m  = 1 kg · Fisica1-Cap5_13.png/Fisica1-Cap5_14.png.

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Figura 5.3: Trabalho como diferença de energia cinética.

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Figura 5.4: Definição de energia cinética.

5.4  Teorema do trabalho-energia

Quando forças atuam sobre uma partícula enquanto ela sofre um deslocamento, a energia cinética da partícula varia de uma quantidade igual ao trabalho total realizado por todas as forças que atuam sobre ela.

Essa relação é o teorema do trabalho-energia, que é sempre válido, não importando se as forças são constantes ou variáveis e se a trajetória é retilínea ou curva.

O teorema se aplica somente para corpos que podem ser considerados partículas.

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Figura 5.5: Teorema de trabalho-energia.

Exemplo 5.2: O trenó

Suponha que um trenó carregado de madeira engatado a um trator se desloca com velocidade inicial de 2,0 m/s para a direita. Qual é a velocidade escalar do trenó apôs um deslocamento de 20 m? O peso combinado do trenó e do trator é 14.700 N e o trabalho total realizado é 10.000 J.

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Exercício 5.2: Um bloco empurrado sobre uma superfície sem atrito

Um bloco de 6,0 kg inicialmente em repouso é puxado para a direita ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma força horizontal constante de 12 N.
(a) Encontre a velocidade escalar do bloco após este ter se movido 3,0 m.
(b) Suponha que o módulo da força nesse exemplo seja dobrada a F'=2F. O bloco de 6,0 kg acelera a 3,5 m/s em razão desta força aplicada enquanto se move por um deslocamento Δ x'. Como o deslocamento Δ x' se compara com o deslocamento original Δ x?

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5.5  Trabalho realizado por uma força variável

Quando uma força varia durante um deslocamento retilíneo, o trabalho realizado por ela é dado por uma equação integral.

Quando uma partícula segue uma trajetória curva, o trabalho realizado sobre ela por uma força Fisica1-Cap5_20.png é dado por uma integral que envolve o ângulo φ  entre a força e o deslocamento.

Essa relação vale mesmo quando o módulo da força e o ângulo φ  variam durante o deslocamento.

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Figura 5.6: Trabalho com força variável.

No caso de uma força constante, obtemos o resultado clássico já conhecido:

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Figura 5.7: Trabalho como um área.

Demonstração Computacional 5.2: Integral do trabalho

O caso da força elástica: Para esticar a mola de uma distância x além de sua posição não deformada, devemos aplicar uma força de módulo igual em cada uma de suas extremidades.

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Figura 5.8: A força necessária para esticar uma mola ideal é diretamente proporcional ao seu alongamento. O trabalho realizado para esticar a mola em um alongamento X é a integral dessa força.

Exemplo 5.3: O cavaleiro

Um cavaleiro com 0,100 kg de massa está ligado à extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola cuja constante é 20,0 N/m. Inicialmente, a mola não está esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a 1,50 m/s da esquerda para a direita. Ache a distância máxima d que o cavaleiro pode se mover para a direita supondo que:
(a) O ar esteja passando no trilho e o atrito seja desprezível.
(b) O aro esteja fluindo no trilho e o coeficiente de atrito cinético seja Fisica1-Cap5_26.png.

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Exercício 5.3: A balança

Uma mulher pesando 600 N está em pé sobre uma balança de mola contendo uma mola rígida. No equilíbrio, a mola está comprimida 1,0 cm sob a ação do seu peso. Calcule a constante da força (da mola) e o trabalho total realizado durante a compressão sobre a mola.

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5.6  Potência

A potência é a taxa temporal de realização de um trabalho. A potência média Fisica1-Cap5_29.png é o trabalho ΔW realizado em um intervalo Δt e dividido por esse intervalo. A potência instantânea é o limite da potência média quando Δt  tende a zero.

Quando uma força Fisica1-Cap5_30.png atua sobre uma partícula que se move com velocidade Fisica1-Cap5_31.png, a potência instantânea (taxa com a qual a força realiza trabalho) é o produto escalar de Fisica1-Cap5_32.png e Fisica1-Cap5_33.png.

A unidade de potência no sistema SI é 1 watt = 1 joule/segundo (1 W = 1 J/s).

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Figura 5.9: Definição de potencia média e instantânea.

Exemplo 5.4: O Airbus A380

Cada um dos quatro motores a jato de um avião Airbus A380 desenvolve uma propulsão (força que acelera o avião) igual a 322.000 N.
(a) Quando o avião está voando a 900 km/h, qual é a potência instantânea que cada motor desenvolve? Escreva a resposta também em unidades hp.
(b) Se os motores estão em propulsão máxima enquanto o avião está em repouso no solo, qual é a potência instantânea neste caso?

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Exercício 5.4: A maratonista

Uma maratonista com massa de 50,0 kg sobe correndo as escadas da Willis Tower, em Chicago, o segundo edifício mais alto dos Estados Unidos, com altura de 443 m. Para que ela atinja o topo em 15,0 minutos, qual deve ser sua potência média em watts, em quilowatts e em hp?

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5.7  Energia potencial gravitacional e elástica

O trabalho realizado por uma força gravitacional constante sobre uma partícula pode ser representado como uma variação da energia potencial gravitacional, Fisica1-Cap5_37.png = mgy. Essa energia é uma propriedade compartilhada entre a partícula e a Terra.

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Uma energia potencial também é associada com a força elástica Fisica1-Cap5_39.png = −kx exercida por uma mola ideal, sendo x a deformação da mola comprimida ou dilatada.

O trabalho realizado por essa força pode ser representado como uma variação na energia potencial elástica da mola, Fisica1-Cap5_40.png.

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Figura 5.10: Trabalho gravitacional e elástico.

Exemplo 5.5: O atleta orgulhoso

Um Ronaldinho descuidado deixa cair o troféu que está exibindo sobre o dedão do seu pé.
(a) Escolhendo o nível do chão como o ponto y = 0 de seu sistema de coordenadas, estime a mudança na energia potencial gravitacional do sistema troféu-Terra enquanto o troféu cai de uma altura de 1,4 m.
(b) Repita o cálculo, utilizando cabeça de Ronaldinho como a origem das coordenadas. Suponha que o troféu tenha uma massa de 2 kg, e o topo do dedão do atleta esteja a cerca de 0,05 m acima do chão. Além disso, suponha por simplicidade que a cabeça de Ronaldinho esteja a uma altura de 2 m do chão.

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Exercício 5.5: Mola e peso

Uma mola ideal de massa desprezível tem 12,0 cm de comprimento quando nada está preso a ela. Ao pendurarmos um peso de 3,15 kg nessa mola, seu comprimento passa a ser 13,40 cm. Para que armazene 10,0 J de energia potencial, qual deve ser seu comprimento total? Suponha que a mola continue a obedecer à lei de Hooke.

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5.8  Quando a energia mecânica total é conservada

A energia potencial total U é a soma da energia potencial gravitacional com as energias potenciais elásticas: Fisica1-Cap5_44.png.

Se apenas a força gravitacional e a força elástica realizam trabalho sobre uma partícula, existe conservação da soma da energia cinética com a energia potencial. A soma E=K+U é chamada de energia mecânica total.

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Figura 5.11: Conservação da energia mecânica.

Demonstração Computacional 5.3: Energia mecânica

Exemplo 5.6: A bola de beisebol e a conservação da energia

Você arremessa uma bola de beisebol de 0,145 kg verticalmente de baixo para cima, fornecendo-lhe uma velocidade inicial de módulo igual a 20,0 m/s.
(a) Calcule a altura máxima que ela atinge, supondo que a resistência do ar seja desprezível.
(b) Agora suponha que sua mão se desloque 0,50 m para cima quando você está arremessando a bola, o que deixa sua mão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s. Supondo que a mão exerça uma força constante sobre a bola, ache o módulo dessa força.
(c) Ache a velocidade da bola quando ela está 15,0 m acima da altura do ponto inicial onde ela deixa sua mão. Ignore a resistência do ar.

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Exercício 5.6: Movimento com energia potencial elástica

Um cavaleiro com massa m = 0,200 kg está em repouso sobre um trilho de ar sem atrito, ligado a uma mola cuja constante é dada por k = 5,00  N/m. Você puxa o cavaleiro fazendo a mola se alongar 0,100 m e a seguir o libera a partir do repouso. O cavaleiro começa a se mover retornando para sua posição inicial (x = 0). Qual é o componente x da sua velocidade no ponto x = 0,080 m?

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5.9  Quando a energia mecânica não é conservada

Quando, além da força gravitacional e da força elástica, outras forças realizam trabalho sobre uma partícula, o trabalho Fisica1-Cap5_49.png realizado pela resultante das outras forças é igual à variação da energia mecânica total do sistema (soma da energia citica com a energia potencial).

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Figura 5.12: Não conservação da energia mecânica.

Exemplo 5.7: A rampa curva

Seu primo Tobias pratica skate partindo do repouso e descendo de uma rampa curva e sem atrito. Se considerarmos Tobias e seu skate como uma partícula, seu centro se move ao longo de um quarto de círculo de raio R = 3,00 m. A massa total de Tobias e seu skate é igual a 25,0 kg.
(a) Calcule sua velocidade na parte inferior da rampa.
(b) Calcule a força normal que atua sobre ele na parte inferior da curva.
(c) Suponha que a rampa possua atrito e que a velocidade de Tobias na base da rampa seja igual a 6,0 m/s neste caso. Qual é o trabalho realizado pela força de atrito sobre ele?

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Exercício 5.7: O elevador

Um elevador de 2.000 kg (19.600 N) com os cabos quebrados cai a 4,0 m/s sobre a mola de amortecimento no fundo do poço. A mola é projetada para fazer o elevador parar quando sofre uma compressão de 2,0 m. Durante o movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma força de atrito constante igual a 17.000 N. Qual é a constante de força k necessária para a mola?

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5.10  Forças conservativas e  não conservativas

Uma força pode ser conservativa ou não conservativa. Uma força é conservativa quando a relação trabalho- -energia cinética é completamente reversível.

O trabalho realizado por uma força conservativa sempre pode ser representado pela variação de uma energia potencial, mas o trabalho realizado por uma força não conservativa não pode.

O trabalho realizado por uma força conservativa se manifesta por meio da variação da energia interna de corpos. A soma das energias cinética, potencial e interna é sempre conservada.

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Figura 5.13: O trabalho realizado por uma força conservativa, como a gravidade, depende apenas dos pontos inicial e final de uma trajetória, não da trajetória  específica percorrida entre esses pontos.

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Figura 5.14: Definição de energia interna de um sistema.

Exemplo 5.8: Um engradado deslizando por uma rampa

Um engradado de 3,00 kg desliza por uma rampa. A rampa tem 1,00 m de comprimento e está inclinada a um ângulo de 30,0º. O engradado começa do repouso no topo, experimenta uma força de atrito constante de módulo 5,00 N, e continua se movendo por uma pequena distância no piso horizontal depois de sair da rampa.
(a) Use métodos de energia para determinar a velocidade do engradado na base da rampa.
(b) Que distância o engradado desliza no piso horizontal se continuar a experimentar uma força de atrito de módulo 5,00 N?
(c) Um trabalhador cauteloso decide que a velocidade do engradado quando ele chega à base da rampa pode ser tão grande que seu conteúdo pode ser danificado. Ele então substitui a rampa por uma mais longa, de modo que esta nova forme um ângulo de 25,0º com o chão. Esta reduz a velocidade do engradado quando ele chega ao chão?

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Exercício 5.8: O sofá

Você deseja mudar a disposição de seus móveis e desloca um sofá de 40,0 kg por uma distância de 2,50 m pela sala. Contudo, a trajetória retilínea é bloqueada por uma pesada mesa que você não deseja deslocar. Em vez disso, você desloca o sofá ao longo de uma trajetória com dois trechos ortogonais, um com 2,0 m de comprimento e o outro com 1,50 m. Em comparação com o trabalho que seria realizado na trajetória retilínea, qual é o trabalho excedente que você deve realizar para deslocar o sofá ao longo da trajetória com os dois trechos ortogonais? O coeficiente de atrito cinético é Fisica1-Cap5_56.png = 0,200.

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5.11  Cálculo da força a partir da energia potencial

Para um movimento retilíneo, uma força conservativa Fisica1-Cap5_58.pngé a derivada negativa de sua função da energia potencial U associada.

Em três dimensões, os componentes de uma força conservativa são derivadas parciais negativas de U.

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Figura 5.15: Definição de força conservativa.

Demonstração Computacional 5.4: Diagramas de energia

Exemplo 5.9: Um disco de hóquei

Um disco de hóquei com coordenadas x e y desliza sobre uma mesa de ar sem atrito. Sobre ele atua uma força conservativa oriunda de uma energia potencial dada pela função:

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Deduza uma expressão vetorial para a força que atua sobre o disco e ache uma expressão para o módulo da força.

Exercício 5.9: A força elétrica

Uma partícula com carga elétrica é mantida em repouso no ponto x = 0, enquanto uma segunda partícula com a mesma carga pode mover-se livremente ao longo do sentido positivo do eixo x. A energia potencial do sistema é U(x) = C/x, onde C é uma constante positiva que depende do módulo das cargas. Deduza, em função da posição, uma expressão para o componente x da força que atua sobre a carga que se move em função de sua posição.

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5.12  Problemas

1.    Blocos e polia:  Dois blocos estão ligados por um fio muito leve que passa por uma polia sem massa e sem atrito. Deslocando-se com velocidade escalar constante, o bloco de 20,0 N se move 75,0 cm da esquerda para a direita e o bloco de 12,0 N move-se 75,0 cm de cima para baixo. Nesse processo, qual é o trabalho realizado (a) sobre o bloco de 12,0 N pela: (i) gravidade; e (ii) tensão no fio? (b) Sobre o bloco de 20,0 N (i) pela gravidade; (ii) pela tensão no fio; (iii) pelo atrito; e (iv) pela força normal? (c) Calcule o trabalho total realizado sobre cada bloco.

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2.    Cratera de meteoro:  Há cerca de 50.000 anos, um meteoro colidiu com a superfície terrestre, próximo de Flagstaff, Arizona (EUA). Medições do ano de 2005 estimam que esse meteoro teria massa aproximada de Fisica1-Cap5_65.png kg (cerca de 150.000 toneladas) e que tenha atingido o solo a 12 km/s. (a) Quanta energia cinética esse meteoro liberou para o solo? (b) Como essa energia se relaciona com a energia liberada por uma bomba nuclear de 1,0 megaton? (Uma bomba de um megaton libera a mesma energia que um milhão de toneladas de TNT e 1,0 tonelada de TNT libera Fisica1-Cap5_66.png J de energia.)

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3.    Andando de bicicleta:  Você e sua bicicleta possuem massa total igual a 80,0 kg. Quando você atinge a base de uma ponte, está se deslocando com uma velocidade de 5,0 m/s. No topo da ponte, você subiu uma distância vertical de 5,20 m e sua velocidade diminuiu para 1,50 m/s. Despreze o trabalho realizado pelo atrito e qualquer ineficiência na bicicleta ou em suas pernas. (a) Qual é o trabalho total realizado sobre você e sua bicicleta quando vai da base ao topo da ponte? (b) Qual é o trabalho realizado pela força que você aplica sobre os pedais?

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4.    Energia humana versus energia de inseto:  Para seu tamanho, a pulga comum é um dos saltadores mais talentosos do mundo animal. Uma pulga de 2,0 mm e 0,50 mg pode atingir uma altura de 20 cm em um único salto. (a) Ignorando o arraste do ar, qual é a velocidade de decolagem dessa pulga? (b) Calcule a energia cinética da pulga ao levantar voo e sua energia cinética por quilograma de massa. (c) Se um humano de 65 kg e 2,0 m pudesse saltar à mesma altura, comparando sua altura com a da pulga, a que altura o humano poderia saltar e de que velocidade de salto ele precisaria? (d) A maioria dos humanos não consegue saltar mais do que 60 cm a partir de uma posição agachada. Qual é a energia cinética por quilograma de massa no salto de uma pessoa de 65 kg? (e) Onde a pulga armazena a energia que lhe permite fazer esses saltos repentinos?

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5.    A Pedrinha: Uma pequena pedra de massa igual a 0,20 kg é liberada a partir do repouso no ponto A situado no topo de um recipiente hemisférico grande com raio R = 0,50 m. Suponha que o tamanho da pedra seja pequeno em comparação com R, de modo que a pedra possa ser tratada como uma partícula, e suponha que a pedra deslize sem rolar. O trabalho realizado pela força de atrito quando ela se move do ponto A ao B situado na base do recipiente é igual a 0,22 J. (a) Entre os pontos A e B, qual é o trabalho realizado sobre a pedra pela (i) força normal e (ii) gravidade? (b) Qual é a velocidade da pedra ao atingir o ponto B? (c) Das três forças que atuam sobre a pedra enquanto ela desliza de cima para baixo no recipiente, qual é constante (se é que existe alguma) e qual não é? Explique. (d) Assim que a pedra atinge o ponto B, qual é a força normal que atua sobre ela no fundo do recipiente?

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6.    Tendões:  Os tendões são fibras elásticas fortes, que conectam músculos aos ossos. Até certo ponto, eles obedecem à lei de Hooke. Em testes de laboratório sobre um tendão em particular, descobriu-se que, quando um objeto de 250 g era pendurado a ele, o tendão esticava 1,23 cm. (a) Ache a constante de força desse tendão em N/m. (b) Em virtude de sua espessura, a tensão máxima que esse tendão pode suportar sem que se rompa é 138 N. Até que ponto o tendão pode se esticar sem romper e quanta energia está armazenada nele nesse ponto?

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7.    A esquiadora: Uma esquiadora de 62 kg está se movendo a 6,50 m/s sobre um platô horizontal, sem atrito, coberto de neve, quando encontra um trecho áspero com 4,20 m de extensão. O coeficiente de atrito cinético entre esse trecho e seus esquis é 0,300. Depois de cruzar o trecho áspero e retornar à neve sem atrito, ela desce esquiando em uma colina de gelo, sem atrito, com 2,50 m de altura. (a) Qual é a velocidade da esquiadora quando chega à parte de baixo da colina? (b) Quanta energia interna foi gerada na travessia do trecho áspero?

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8.    Montanha-russa: Um carro de montanha-russa com 350 kg parte do repouso no ponto A e desce para realizar um loop sem atrito. (a) Com que velocidade o carro se move no ponto B? (b) Com que rigidez ele pressiona o trilho no ponto B?

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9.    Lançamento de foguete: O Um foguete de 1.500 kg deve ser lançado com velocidade inicial de baixo para cima de 50,0 m/s. Para não sobrecarregar os motores, os engenheiros vão lançá-lo do repouso sobre uma rampa que se ergue a 53º acima do plano horizontal. Da base, a rampa aponta de baixo para cima e lança o foguete verticalmente. Os motores fornecem uma propulsão constante para a frente de 2.000 N, e o atrito com a superfície da rampa é uma constante de 500 N. A que distância da base da rampa o foguete deve ser acionado, conforme medido ao longo da superfície da rampa?

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10.    O trenó: Um trenó com seu passageiro possuem uma massa conjunta de 125 kg. Ele trafega na velocidade indicada até chegar a uma colina com gelo perfeitamente liso. A que distância da base do penhasco o trenó irá parar?

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