Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

5.  Energia Cinética e Potencial

5.1  Introdução

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Figura 5.1: Fonte limpas de energia para uso quotidiano.

O QUE É A ENERGIA?

A importância do conceito de energia reside no princípio da conservação de energia: a energia é uma grandeza que pode ser convertida de uma forma para outra, mas que não pode ser criada nem destruída.

Em todos os processos físicos de interesse, a energia total permanece constante, ou seja, a soma de todas as formas de energia envolvidas permanece a mesma. Nenhuma exceção a essa conclusão jamais foi encontrada.

Aqui concentraremos nossa atenção na mecânica. Aprenderemos a calcular duas formas importantes de energia, a chamada energia cinética, ou energia do movimento, e a energia potencial de um sistema. Expandiremos essas ideias para compreendermos mais a fundo a conservação de energia.

5.2  Trabalho Realizado por uma Força

Você aplica as leis de Newton e as demais técnicas para a solução de problemas simples; porém, pode defronta-se com dificuldades inesperadas: forças que dependem da posição, etc. O novo método, que será apresentado aqui, usa os conceitos de trabalho e energia para resolver essas dificuldades.

TRABALHO MECÂNICO

Quando uma força constante Fisica1-Cap5_2.png atua sobre uma partícula enquanto ela sofre um deslocamento retilíneo Fisica1-Cap5_3.png, o trabalho realizado por essa força é definido como o produto escalar de Fisica1-Cap5_4.png e Fisica1-Cap5_5.png.

A unidade de trabalho no sistema SI é 1 Joule = 1 Newton · metro (1 J = 1 N · m).

O trabalho é uma grandeza escalar; ele possui um sinal algébrico (positivo ou negativo), mas não possui direção no espaço.

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Figura 5.2: O trabalho realizado por uma força constante que atua na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento.

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Figura 5.3: Trabalho como uma grandeza escalar.

TRABALHO POSITIVO, NEGATIVO OU NULO

É importante entender que o trabalho também pode ser negativo ou nulo. Essa observação mostra a diferença essencial entre o conceito físico e a definição “quotidiana” de trabalho.

Demonstração Computacional 5.1: Trabalho como uma projeção de um vetor sobre outro.

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Figura 5.4: Trabalho pode ser positivo, negativo ou nulo. Depende da orientação da força.

Exemplo 5.1: Trabalho realizado por uma força constante

(a)    Carlos exerce uma força uniforme de 210 N sobre um carro enguiçado, conforme o desloca por uma distância de 18 m. O carro também está com um pneu furado, de modo que, para manter o movimento retilíneo, Carlos deve empurrá-lo a um ângulo de 30º em relação à direção do movimento. Qual é o trabalho realizado por ele?

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(b)    Disposto a cooperar mais, Carlos empurra outro carro enguiçado com uma força uniforme Fisica1-Cap5_10.png. O deslocamento do carro é Fisica1-Cap5_11.png. Qual é o trabalho realizado por Carlos neste caso?

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Exercício 5.1: O fazendeiro

Um fazendeiro engata um trenó carregado de madeira ao seu trator e o puxa até uma distância de 20 m ao longo de um terreno horizontal. O peso total do trenó carregado é igual a 14.700 N. O trator exerce uma força constante de 5.000 N, formando um ângulo de 36,9º acima da horizontal. Existe uma força de atrito de 3.500 N que se opõe ao movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza sobre o trenó e o trabalho total realizado por todas as forças.

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5.3  Energia Cinética

O trabalho total realizado pelas forças externas sobre um corpo está relacionado com o deslocamento do corpo, ou seja, com variações em sua posição. Contudo, o trabalho total também é relacionado com a velocidade do corpo.

TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA

A energia cinética K de uma partícula é igual ao trabalho realizado para acelerá-la a partir do repouso até a velocidade v. É também igual ao trabalho realizado para desacelerá-la até atingir o repouso.

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Figura 5.5: Trabalho como diferença de energia cinética.

PROPRIEDADES

A energia cinética é uma grandeza escalar que não possui direção no espaço; ela é sempre positiva ou nula.

Suas unidades no SI  são as mesmas de trabalho: 1 J = 1 N · m  = 1 kg · Fisica1-Cap5_15.png/Fisica1-Cap5_16.png.

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Figura 5.6: Definição de energia cinética.

5.4  Teorema do Trabalho-Energia

Analogamente ao trabalho, a energia cinética é uma grandeza escalar que depende somente da massa e do módulo da velocidade da partícula, e não da direção do movimento. A energia cinética nunca pode ser negativa, sendo igual a zero somente quando a partícula está em repouso.

CARACTERISTICAS

Quando forças atuam sobre uma partícula enquanto ela sofre um deslocamento, a energia cinética da partícula varia de uma quantidade igual ao trabalho total realizado por todas as forças que atuam sobre ela.

Essa relação é o teorema do trabalho-energia, que é sempre válido, não importando se as forças são constantes ou variáveis e se a trajetória é retilínea ou curva.

O teorema se aplica somente para corpos que podem ser considerados partículas.

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Figura 5.7: Teorema de trabalho-energia.

Exemplo 5.2: O trenó

Suponha que um trenó carregado de madeira engatado a um trator se desloca com velocidade inicial de 2,0 m/s para a direita. Qual é a velocidade escalar do trenó apôs um deslocamento de 20 m? O peso combinado do trenó e do trator é 14.700 N e o trabalho total realizado é 10.000 J.

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Exercício 5.2: Um bloco empurrado sobre uma superfície sem atrito

Um bloco de 6,0 kg inicialmente em repouso é puxado para a direita ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma força horizontal constante de 12 N.
(a)    Encontre a velocidade escalar do bloco após este ter se movido 3,0 m.
(b)    Suponha que o módulo da força nesse exemplo seja dobrada a F’ = 2F. O bloco de 6,0 kg acelera até 3,5 m/s em razão desta força aplicada enquanto se move por um deslocamento Δx’. Como o deslocamento Δx’ se compara com o deslocamento original Δx?

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5.5  Trabalho Realizado por uma Força Variável

Até o momento consideramos apenas forças constantes. Também restringimos nossos estudos ao movimento retilíneo. Podemos imaginar diversas situações em que as forças aplicadas variam em módulo, direção e sentido e o corpo se desloca em uma trajetória curva. É necessário que possamos calcular o trabalho realizado nesses casos mais genéricos.

CARACTERISTICAS

Quando uma força varia durante um deslocamento retilíneo, o trabalho realizado por ela é dado por uma equação integral.

Quando uma partícula segue uma trajetória curva, o trabalho realizado sobre ela por uma força Fisica1-Cap5_21.png é dado por uma integral que envolve o ângulo φ  entre a força e o deslocamento.

Essa relação vale mesmo quando o módulo da força e o ângulo φ  variam durante o deslocamento.

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Figura 5.8: Trabalho com força variável.

Demonstração Computacional 5.2: Integral do trabalho.

FORÇA CONSTANTE

No caso de uma força constante, obtemos o resultado clássico já conhecido:

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Figura 5.9: Trabalho como um área no caso de uma força constante.

FORÇA VARIÁVEL - ELÁSTICA

Para esticar a mola de uma distância x além de sua posição não deformada, devemos aplicar uma força de módulo igual em cada uma de suas extremidades.

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Figura 5.10: A força necessária para esticar uma mola ideal é diretamente proporcional ao seu alongamento. O trabalho realizado para esticar a mola em um alongamento X é a integral dessa força.

Exemplo 5.3: O cavaleiro

Um cavaleiro com 0,100 kg de massa está ligado à extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola cuja constante é 20,0 N/m. Inicialmente, a mola não está esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a 1,50 m/s da esquerda para a direita. Ache a distância máxima d que o cavaleiro pode se mover para a direita supondo que:
(a)    O ar esteja passando no trilho e o atrito seja desprezível.
(b)    O aro esteja fluindo no trilho e o coeficiente de atrito cinético seja Fisica1-Cap5_26.png.

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Exercício 5.3: A balança

Uma mulher pesando 600 N está em pé sobre uma balança de mola contendo uma mola rígida. No equilíbrio, a mola está comprimida 1,0 cm sob a ação do seu peso. Calcule a constante da força (da mola) e o trabalho total realizado durante a compressão sobre a mola.

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5.6  Potência

A definição de trabalho não faz nenhuma referência ao tempo. Contudo, muitas vezes precisamos saber quanto tempo levamos para realizar um trabalho. Isso pode ser descrito pela potência.

PROPRIEDADES

A potência é a taxa temporal de realização de um trabalho. A potência média Fisica1-Cap5_29.png (ou Fisica1-Cap5_30.png) é o trabalho ΔW realizado em um intervalo Δt e dividido por esse intervalo. A potência instantânea é o limite da potência média quando Δt  tende a zero.

Quando uma força Fisica1-Cap5_31.png atua sobre uma partícula que se move com velocidade Fisica1-Cap5_32.png, a potência instantânea (taxa com a qual a força realiza trabalho) é o produto escalar de Fisica1-Cap5_33.png e Fisica1-Cap5_34.png.

A unidade de potência no sistema SI é 1 watt = 1 joule/segundo (1 W = 1 J/s).

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Figura 5.11: Definição de potencia média e instantânea.

Exemplo 5.4: O Airbus A380

Cada um dos quatro motores a jato de um avião Airbus A380 desenvolve uma propulsão (força que acelera o avião) igual a 322.000 N.
(a)    Quando o avião está voando a 900 km/h, qual é a potência instantânea que cada motor desenvolve? Escreva a resposta também em unidades hp.
(b)    Se os motores estão em propulsão máxima enquanto o avião está em repouso no solo, qual é a potência instantânea neste caso?

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Exercício 5.4: A maratonista

Uma maratonista com massa de 50,0 kg sobe correndo as escadas da Willis Tower, em Chicago, o segundo edifício mais alto dos Estados Unidos, com altura de 443 m. Para que ela atinja o topo em 15,0 minutos, qual deve ser sua potência média em watts, em quilowatts e em hp?

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5.7  Energia Potencial Gravitacional

Existe um modo alternativo muito útil para estudar conceitos envolvendo trabalho e energia cinética. Esse novo método se pauta no conceito de energia potencial, que é a energia associada com a posição da partícula, não com seu movimento. Demonstraremos que, em alguns casos, a soma da energia potencial com a energia cinética, que fornece a energia mecânica total de um sistema, permanece constante durante o movimento do sistema.

TRABALHO GRAVITACIONAL

O trabalho realizado por uma força gravitacional constante sobre uma partícula pode ser representado como uma variação da energia potencial gravitacional. Essa energia é uma propriedade compartilhada entre a partícula e a Terra.

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Figura 5.12: Trabalho gravitacional e energia potencial gravitacional.

Vamos supor que o corpo esteja tão suficientemente próximo da superfície da Terra que consideramos seu peso constante. Neste caso, o trabalho gravitacional é calculado assim:

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Figura 5.13: Definição de energia potencial gravitacional.

Então, o trabalho realizado pela força gravitacional sobre uma partícula é a variação da sua energia potencial gravitacional:

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Figura 5.14: Trabalho e energia potencial gravitacional.

O sinal negativo na variação da energia potencial gravitacional é fundamental. Quando um corpo se move de baixo para cima, y aumenta, o trabalho realizado pela força gravitacional é negativo e a energia potencial gravitacional aumenta (Fisica1-Cap5_42.png > 0). Quando um corpo se move de cima para baixo, y diminui, o trabalho realizado pela força gravitacional é positivo e a energia potencial gravitacional diminui (Fisica1-Cap5_43.png < 0).

Demonstração Computacional 5.3: Energia potencial de vários objetos.

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA (SOMENTE FORÇAS GRAVITACIONAIS)

Para verificar a utilidade do conceito de energia potencial gravitacional, suponha que o peso seja a única força atuando sobre o corpo.

O corpo então cai livremente sem resistência do ar e pode se mover para cima ou para baixo.

O trabalho total realizado sobre o corpo é igual à variação da energia cinética do corpo, mas também é o negativo da variação da energia potencial gravitacional.

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Figura 5.15: Teorema de trabalho-energia gravitacional.

Quando uma grandeza possui sempre o mesmo valor, dizemos que ela é uma grandeza conservada. Quando somente a gravidade realiza trabalho, a energia mecânica total é constante, ou seja, E = K + Fisica1-Cap5_46.png é conservada.

Demonstração Computacional 5.4: Energia mecânica total.

QUANDO OUTRAS FORÇAS, ALÉM DA GRAVIDADE,  REALIZAM TRABALHO

Se outras forças além do peso atuam sobre o corpo, então o trabalho realizado por estas forças deve ser considerado na relação da energia mecânica do sistema.

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Exemplo 5.5: A bola de beisebol e a conservação da energia

Você arremessa uma bola de beisebol de 0,145 kg verticalmente de baixo para cima, fornecendo-lhe uma velocidade inicial de módulo igual a 20,0 m/s.
(a)    Calcule a altura máxima que ela atinge, supondo que a resistência do ar seja desprezível.
(b)    Agora suponha que sua mão se desloque 0,50 m para cima quando você está arremessando a bola, o que deixa sua mão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s. Supondo que a mão exerça uma força constante sobre a bola, ache o módulo dessa força.
(c)    Ache a velocidade da bola quando ela está 15,0 m acima da altura do ponto inicial onde ela deixa sua mão. Ignore a resistência do ar.

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Exercício 5.5: O atleta orgulhoso

Um Ronaldinho descuidado deixa cair o troféu que está exibindo sobre o dedão do seu pé.
(a)    Escolhendo o nível do chão como o ponto y = 0 de seu sistema de coordenadas, estime a mudança na energia potencial gravitacional do sistema troféu-Terra enquanto o troféu cai de uma altura de 1,4 m.
(b)    Repita o cálculo, utilizando cabeça de Ronaldinho como a origem das coordenadas. Suponha que o troféu tenha uma massa de 2 kg, e o topo do dedão do atleta esteja a cerca de 0,05 m acima do chão. Além disso, suponha por simplicidade que a cabeça de Ronaldinho esteja a uma altura de 2 m do chão.

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QUANDO O MOVIMENTO É AO LONGO DE UMA TRAJETÓRIA CURVA

Em nossos dois exemplos iniciais, o corpo se deslocava ao longo de uma linha reta vertical. O que ocorre quando a trajetória é inclinada ou curva?

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Figura 5.16: Cálculo da variação na energia potencial gravitacional para o deslocamento ao longo de uma trajetória curva.

O trabalho realizado pela força gravitacional Fisica1-Cap5_51.png num pequeno segmento ΔFisica1-Cap5_52.png é o produto escalar da força pelo deslocamento. Em termos dos vetores unitários:

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O trabalho realizado pela força gravitacional é o mesmo que seria obtido caso o corpo se deslocasse verticalmente de uma distância Δy, sem nenhum deslocamento horizontal. Portanto, podemos usar a mesma expressão para a energia potencial gravitacional tanto para uma trajetória retilínea quanto para uma trajetória curva.

Exemplo 5.6: A rampa curva

Seu primo Tobias pratica skate partindo do repouso e descendo de uma rampa curva e sem atrito. Se considerarmos Tobias e seu skate como uma partícula, seu centro se move ao longo de um quarto de círculo de raio R = 3,00 m. A massa total de Tobias e seu skate é igual a 25,0 kg.
(a)    Calcule sua velocidade na parte inferior da rampa.
(b)    Calcule a força normal que atua sobre ele na parte inferior da curva.
(c)    Suponha que a rampa possua atrito e que a velocidade de Tobias na base da rampa seja igual a 6,0 m/s neste caso. Qual é o trabalho realizado pela força de atrito sobre ele?

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Exercício 5.6: Um plano inclinado com atrito

Queremos deslizar uma caixa de 12 kg subindo uma rampa de 2,5 m inclinada em 30º. Um trabalhador, ignorando o atrito, calculou que ele poderia fazer a caixa chegar ao topo da rampa lançando-a com uma velocidade inicial de 5,0 m/s na base da rampa. Porém, o atrito não é desprezível; a caixa desliza 1,6 m subindo a rampa, para e desliza retornando para baixo.
(a)    Supondo que a força de atrito atuando sobre a caixa seja constante, calcule seu módulo.
(b)    Qual é a velocidade da caixa quando ela atinge a base da rampa?

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5.8  Energia Potencial Elástica

Há muitas situações em que encontramos energia potencial de natureza diferente da gravitacional. Descrevemos o processo de armazenamento de energia em um corpo deformável, como uma mola ou uma tira de borracha, em termos da energia potencial elástica. Dizemos que um corpo é elástico quando ele volta a ter a mesma forma e o mesmo tamanho que possuía antes da deformação.

TRABALHO ELÁSTICO

Já verificamos que o trabalho realizado sobre uma mola para mover sua extremidade desde uma posição inicial Fisica1-Cap5_56.png  até uma posição final Fisica1-Cap5_57.png, e também o trabalho realizado pela uma mola nos mesmos pontos, são dados por:

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Figura 5.17: Cálculo do trabalho realizado por uma mola amarrada a um bloco sobre uma superfície horizontal. A grandeza x é o alongamento ou a compressão da mola.

Como no caso do trabalho gravitacional, podemos representar o trabalho realizado pela mola em termos de uma quantidade no início e no final do deslocamento. Essa quantidade é a energia potencial elástica,

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Figura 5.18: Definição de energia potencial elástica.

Então, o trabalho realizado pela mola é a variação da sua energia potencial elástica:

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Figura 5.19: Trabalho e energia potencial elástica.

O valor de Fisica1-Cap5_62.png é sempre positivo, tanto para valores de x positivos quanto negativos, e as equações acima são válidas em ambos os casos. Quanto maior for o valor da compressão ou do alongamento da mola, maior é o valor da sua energia potencial elástica.

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA (SOMENTE FORÇAS ELÁSTICAS)

O teorema do trabalho-energia afirma que Fisica1-Cap5_63.png = Fisica1-Cap5_64.pngFisica1-Cap5_65.png, qualquer que seja o tipo de força atuante sobre o corpo.

Quando a força elástica é a única força que atua sobre o corpo, então o teorema de trabalho-energia inclui a energia potencial elástica.

O trabalho total realizado sobre o corpo é igual à variação da energia cinética do corpo, mas também é o negativo da variação da energia potencial elástica.

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Figura 5.20: Teorema de trabalho-energia elástica.

Neste caso, a energia mecânica total E =K + Fisica1-Cap5_68.png (a soma da energia cinética com a energia potencial elástica) se conserva.

Demonstração Computacional 5.5: Energia mecânica (cinética e potencial elástica) e diagramas de movimento.

QUANDO OUTRAS FORÇAS, ALÉM DA ELÁSTICA,  REALIZAM TRABALHO

Se outras forças além d força elástica atuam sobre o corpo, então o trabalho realizado por estas forças deve ser considerado na relação da energia mecânica do sistema.

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Exemplo 5.7: Movimento com energia potencial elástica

Um cavaleiro com massa m = 0,200 kg está em repouso sobre um trilho de ar sem atrito, ligado a uma mola cuja constante é dada por k = 5,00  N/m. Você puxa o cavaleiro fazendo a mola se alongar 0,100 m e a seguir o libera a partir do repouso. O cavaleiro começa a se mover retornando para sua posição inicial (x = 0).
(a)    Qual é o componente x da sua velocidade no ponto x = 0,080 m?
(b)    Suponha que o cavaleiro esteja em repouso na posição inicial x = 0, quando a mola ainda não está deformada. Então, aplicamos sobre o cavaleiro uma força constante Fisica1-Cap5_70.png no sentido +x com módulo igual a 0,610 N. Qual é a velocidade do cavaleiro no ponto x = 0,100 m?

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Exercício 5.7: Um sistema bloco-mola

Um bloco de massa 1,6 kg é preso a uma mola horizontal que tem constante k de 1000 N/m, como mostra a Figura. A mola é comprimida 2,0 cm e depois liberada do repouso.
(a)    Calcule a velocidade do bloco conforme ele passa pela posição de equilíbrio x = 0 se a superfície não tem atrito.
(b)    Calcule a velocidade do bloco conforme ele passa pela posição de equilíbrio se uma força de atrito constante de 4,0 N retarda seu movimento a partir do momento em que é solto.
(c)    Se a força de atrito fosse aumentada para 10,0 N, qual é a velocidade do bloco em x = 0?

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SITUAÇÕES COM ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL E ELÁSTICA

O que ocorre quando existem simultaneamente forças gravitacionais e elásticas, como no caso de um corpo preso na extremidade de uma mola verticalmente pendurada? E se o trabalho também é realizado por outras forças que não podem ser descritas em termos da energia potencial, como a força da resistência do ar sobre um bloco em movimento? Pelo teorema do trabalho-energia, obtemos

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ou, analogamente,

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Figura 5.21: Teorema de trabalho-energia total.

O trabalho realizado por todas as forças além das gravitacionais e elásticas é igual à variação da energia mecânica total do sistema E = K + U.

Demonstração Computacional 5.6: Energia potencial elástica e gravitacional.

Exemplo 5.8: O elevador

Um elevador de 2.000 kg (19.600 N) com os cabos quebrados cai a 4,0 m/s sobre a mola de amortecimento no fundo do poço. A mola é projetada para fazer o elevador parar quando sofre uma compressão de 2,0 m. Durante o movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma força de atrito constante igual a 17.000 N. Qual é a constante de força k necessária para a mola?

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Exercício 5.8: Mola e peso

Uma mola ideal de massa desprezível tem 12,0 cm de comprimento quando nada está preso a ela. Ao pendurarmos um peso de 3,15 kg nessa mola, seu comprimento passa a ser 13,40 cm. Para que armazene 10,0 J de energia potencial, qual deve ser seu comprimento total? Suponha que a mola continue a obedecer à lei de Hooke.

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5.9  Forças Conservativas e não Conservativas

Em nossa discussão da energia potencial, falamos sobre “armazenar” a energia cinética para convertí-la em energia potencial, com a ideia de que podemos recuperá-la novamente sob a forma de energia cinética. Se existe essa conversão dizemos que a energia mecânica total, que é a soma das energias cinética e potencial, permanece constante ou é conservada durante o movimento.

CARACTERISTICAS

Uma força pode ser conservativa ou não conservativa. Uma força é conservativa quando a relação trabalho- -energia cinética é completamente reversível.

O trabalho realizado por uma força conservativa sempre pode ser representado pela variação de uma energia potencial, mas o trabalho realizado por uma força não conservativa não pode.

O trabalho realizado por uma força conservativa se manifesta por meio da variação da energia interna de corpos. A soma das energias cinética, potencial e interna é sempre conservada.

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Figura 5.22: O trabalho realizado por uma força conservativa, como a gravidade, depende apenas dos pontos inicial e final de uma trajetória, não da trajetória  específica percorrida entre esses pontos.

LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Forças não conservativas não podem ser representadas em termos de energia potencial. Porém, podemos descrever os efeitos dessas forças usando outros tipos de energias diferentes da potencial e da cinética.
A energia associada com a mudança de estado de um sistema denomina-se energia interna. Experiências meticulosas mostram que a variação da energia interna é exatamente igual ao módulo do trabalho realizado pela força de atrito. Em outras palavras,

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Figura 5.23: Definição de energia interna de um sistema, e conservação da energia.

Exemplo 5.9: Um engradado deslizando por uma rampa

Um engradado de 3,00 kg desliza por uma rampa. A rampa tem 1,00 m de comprimento e está inclinada a um ângulo de 30,0º. O engradado começa do repouso no topo, experimenta uma força de atrito constante de módulo 5,00 N, e continua se movendo por uma pequena distância no piso horizontal depois de sair da rampa.
(a)    Use métodos de energia para determinar a velocidade do engradado na base da rampa.
(b)    Que distância o engradado desliza no piso horizontal se continuar a experimentar uma força de atrito de módulo 5,00 N?
(c)    Um trabalhador cauteloso decide que a velocidade do engradado quando ele chega à base da rampa pode ser tão grande que seu conteúdo pode ser danificado. Ele então substitui a rampa por uma mais longa, de modo que esta nova forme um ângulo de 25,0º com o chão. Esta reduz a velocidade do engradado quando ele chega ao chão?

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Exercício 5.9: O sofá

Você deseja mudar a disposição de seus móveis e desloca um sofá de 40,0 kg por uma distância de 2,50 m pela sala. Contudo, a trajetória retilínea é bloqueada por uma pesada mesa que você não deseja deslocar. Em vez disso, você desloca o sofá ao longo de uma trajetória com dois trechos ortogonais, um com 2,0 m de comprimento e o outro com 1,50 m. Em comparação com o trabalho que seria realizado na trajetória retilínea, qual é o trabalho excedente que você deve realizar para deslocar o sofá ao longo da trajetória com os dois trechos ortogonais? O coeficiente de atrito cinético é Fisica1-Cap5_81.png = 0,200.

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5.10  Cálculo da Força a partir da Energia Potencial

Para os dois tipos de força conservativa estudados (a elástica e a gravitacional), começamos com uma descrição do comportamento da força e, a partir disso, deduzimos uma expressão para a energia potencial. Porém, você encontrará situações em que lhe é dada uma expressão para a energia potencial em função da posição para que seja calculada a força correspondente.

CARACTERISTICAS

Para um movimento retilíneo, uma força conservativa Fisica1-Cap5_83.png(x) é a variação negativa de sua função da energia potencial U associada.

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Em três dimensões, os componentes de uma força conservativa são variações negativas de U.

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Tomamos o limite quando x → 0; nesse limite, a variação da torna-se desprezível, e achamos a expressão exata, usando as derivadas parciais do potencial:

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Figura 5.24: Força conservativa e o potencial.

Demonstração Computacional 5.7: Diagramas de energia.

FORÇA ELÁSTICA

Considere a função da energia potencial elástica U(x) e aplique a definição para encontrar a força correspondente, que é a expressão correta da força exercida por uma mola ideal:

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Figura 5.25: Energia potencial e força da mola em função de x.

FORÇA GRAVITACIONAL

Analogamente, para a energia potencial gravitacional U(y), temos a expressão correta para a força gravitacional:

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Figura 5.26: Energia potencial gravitacional e força em função de y.

Exemplo 5.10: Um disco de hóquei

Um disco de hóquei com coordenadas x e y desliza sobre uma mesa de ar sem atrito. Sobre ele atua uma força conservativa oriunda de uma energia potencial dada pela função:

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Deduza uma expressão vetorial para a força que atua sobre o disco e ache uma expressão para o módulo da força.

Exercício 5.10: A força elétrica

Uma partícula com carga elétrica é mantida em repouso no ponto x = 0, enquanto uma segunda partícula com a mesma carga pode mover-se livremente ao longo do sentido positivo do eixo x. A energia potencial do sistema é U(x) = C/x, onde C é uma constante positiva que depende do módulo das cargas. Deduza, em função da posição, uma expressão para o componente x da força que atua sobre a carga que se move em função de sua posição.

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5.11  Problemas

5.1    Blocos e polia:  Dois blocos estão ligados por um fio muito leve que passa por uma polia sem massa e sem atrito. Deslocando-se com velocidade escalar constante, o bloco de 20,0 N se move 75,0 cm da esquerda para a direita e o bloco de 12,0 N move-se 75,0 cm de cima para baixo. Nesse processo, qual é o trabalho realizado (a) sobre o bloco de 12,0 N pela: (i) gravidade; e (ii) tensão no fio? (b) Sobre o bloco de 20,0 N (i) pela gravidade; (ii) pela tensão no fio; (iii) pelo atrito; e (iv) pela força normal? (c) Calcule o trabalho total realizado sobre cada bloco.

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5.2    Cratera de meteoro:  Há cerca de 50.000 anos, um meteoro colidiu com a superfície terrestre, próximo de Flagstaff, Arizona (EUA). Medições do ano de 2005 estimam que esse meteoro teria massa aproximada de Fisica1-Cap5_95.png kg (cerca de 150.000 toneladas) e que tenha atingido o solo a 12 km/s. (a) Quanta energia cinética esse meteoro liberou para o solo? (b) Como essa energia se relaciona com a energia liberada por uma bomba nuclear de 1,0 megaton? (Uma bomba de um megaton libera a mesma energia que um milhão de toneladas de TNT e 1,0 tonelada de TNT libera Fisica1-Cap5_96.png J de energia.)

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5.3    Andando de bicicleta:  Você e sua bicicleta possuem massa total igual a 80,0 kg. Quando você atinge a base de uma ponte, está se deslocando com uma velocidade de 5,0 m/s. No topo da ponte, você subiu uma distância vertical de 5,20 m e sua velocidade diminuiu para 1,50 m/s. Despreze o trabalho realizado pelo atrito e qualquer ineficiência na bicicleta ou em suas pernas. (a) Qual é o trabalho total realizado sobre você e sua bicicleta quando vai da base ao topo da ponte? (b) Qual é o trabalho realizado pela força que você aplica sobre os pedais?

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5.4    Energia humana versus energia de inseto:  Para seu tamanho, a pulga comum é um dos saltadores mais talentosos do mundo animal. Uma pulga de 2,0 mm e 0,50 mg pode atingir uma altura de 20 cm em um único salto. (a) Ignorando o arraste do ar, qual é a velocidade de decolagem dessa pulga? (b) Calcule a energia cinética da pulga ao levantar voo e sua energia cinética por quilograma de massa. (c) Se um humano de 65 kg e 2,0 m pudesse saltar à mesma altura, comparando sua altura com a da pulga, a que altura o humano poderia saltar e de que velocidade de salto ele precisaria? (d) A maioria dos humanos não consegue saltar mais do que 60 cm a partir de uma posição agachada. Qual é a energia cinética por quilograma de massa no salto de uma pessoa de 65 kg? (e) Onde a pulga armazena a energia que lhe permite fazer esses saltos repentinos?

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5.5    A Pedrinha: Uma pequena pedra de massa igual a 0,20 kg é liberada a partir do repouso no ponto A situado no topo de um recipiente hemisférico grande com raio R = 0,50 m. Suponha que o tamanho da pedra seja pequeno em comparação com R, de modo que a pedra possa ser tratada como uma partícula, e suponha que a pedra deslize sem rolar. O trabalho realizado pela força de atrito quando ela se move do ponto A ao B situado na base do recipiente é igual a 0,22 J. (a) Entre os pontos A e B, qual é o trabalho realizado sobre a pedra pela (i) força normal e (ii) gravidade? (b) Qual é a velocidade da pedra ao atingir o ponto B? (c) Das três forças que atuam sobre a pedra enquanto ela desliza de cima para baixo no recipiente, qual é constante (se é que existe alguma) e qual não é? Explique. (d) Assim que a pedra atinge o ponto B, qual é a força normal que atua sobre ela no fundo do recipiente?

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5.6    Tendões:  Os tendões são fibras elásticas fortes, que conectam músculos aos ossos. Até certo ponto, eles obedecem à lei de Hooke. Em testes de laboratório sobre um tendão em particular, descobriu-se que, quando um objeto de 250 g era pendurado a ele, o tendão esticava 1,23 cm. (a) Ache a constante de força desse tendão em N/m. (b) Em virtude de sua espessura, a tensão máxima que esse tendão pode suportar sem que se rompa é 138 N. Até que ponto o tendão pode se esticar sem romper e quanta energia está armazenada nele nesse ponto?

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5.7    A esquiadora: Uma esquiadora de 62 kg está se movendo a 6,50 m/s sobre um platô horizontal, sem atrito, coberto de neve, quando encontra um trecho áspero com 4,20 m de extensão. O coeficiente de atrito cinético entre esse trecho e seus esquis é 0,300. Depois de cruzar o trecho áspero e retornar à neve sem atrito, ela desce esquiando em uma colina de gelo, sem atrito, com 2,50 m de altura. (a) Qual é a velocidade da esquiadora quando chega à parte de baixo da colina? (b) Quanta energia interna foi gerada na travessia do trecho áspero?

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5.8    Montanha-russa: Um carro de montanha-russa com 350 kg parte do repouso no ponto A e desce para realizar um loop sem atrito. (a) Com que velocidade o carro se move no ponto B? (b) Com que rigidez ele pressiona o trilho no ponto B?

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5.9    Lançamento de foguete: O Um foguete de 1.500 kg deve ser lançado com velocidade inicial de baixo para cima de 50,0 m/s. Para não sobrecarregar os motores, os engenheiros vão lançá-lo do repouso sobre uma rampa que se ergue a 53º acima do plano horizontal. Da base, a rampa aponta de baixo para cima e lança o foguete verticalmente. Os motores fornecem uma propulsão constante para a frente de 2.000 N, e o atrito com a superfície da rampa é uma constante de 500 N. A que distância da base da rampa o foguete deve ser acionado, conforme medido ao longo da superfície da rampa?

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5.10    O trenó: Um trenó com seu passageiro possuem uma massa conjunta de 125 kg. Ele trafega na velocidade indicada até chegar a uma colina com gelo perfeitamente liso. A que distância da base do penhasco o trenó irá parar?   


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