Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

4.  Leis de Newton do movimento

4.1  Introdução

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Figura 4.1: Lançamento do Space Shuttle Columbia. As leis de Newton são aplicadas em todos os aspetos, inclusive na tragédia da volta para casa.

Os principios da dinâmica (a relação entre o movimento e as forças que o produzem) foram claramente estabelecidos pela primeira vez por Isaac Newton (1642-1727); hoje, eles são conhecidos como as leis de Newton do movimento.

As leis de Newton são o fundamento da mecânica clássica (também conhecida como mecânica newtoniana); aplicando-as, podemos compreender os tipos mais familiares de movimento.

As três leis de Newton do movimento podem ser formuladas de modo simples. Porém, as aplicações dessas leis requerem habilidades analíticas e técnicas para a solução de problemas.

4.2  Força como grandeza vetorial

Força é a medida da interação entre dois corpos. É uma grandeza vetorial.

Quando diversas forças atuam sobre um corpo, o efeito sobre seu movimento é o mesmo que o produzido pela ação de uma única força agindo sobre o corpo, dada pela soma vetorial (resultante) dessas forças.

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Figura 4.2: Alguns exemplos de forças aplicadas. Em cada caso, uma força é exercida sobre o corpo dentro da área da caixa. Algum agente no ambiente externo à área da caixa exerce uma força sobre o corpo.

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Figura 4.3: Principio de superposição de forças como uma soma vetorial.

Exemplo 4.1: Os lutadores

Tres lutadores profissionais estão lutando pelo cinturão do campeonato. Olhando de cima, eles aplicam três forças horizontais sobre o cinturão. Os módulos das três forcas são Fisica1-Cap4_4.png = 250 N (fazendo ângulo de 53º com o eixo -x), Fisica1-Cap4_5.png = 50 N (apontando na direção +x) e Fisica1-Cap4_6.png = 120 N (apontando na direção -y). Ache os componentes x e y da força resultante. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante.

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Exercício 4.1: O freteiro

Um homem está puxando um baú para cima ao longo da rampa de carga de um caminhão de mudanças. A rampa possui um ângulo de 20,0º e o homem exerce uma força para cima cuja direção forma um ângulo de 30,0º com a rampa.
(a) Qual deve ser o módulo da força Fisica1-Cap4_8.png necessária para que o componente Fisica1-Cap4_9.png paralelo a rampa possua módulo igual a 60,0 N?
(b) Qual deve ser o módulo do componente Fisica1-Cap4_10.png perpendicular à rampa nesse caso?

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4.3  As três leis do movimento

A primeira lei de Newton afirma que, quando a soma vetorial das forças que atuam sobre um corpo (a força resultante) é igual a zero, o corpo está em equilíbrio e possui aceleração nula. Quando o corpo está inicialmente em repouso, ele permanece em repouso; quando o corpo está inicialmente em movimento, ele continua em movimento com velocidade constante. Essa lei vale apenas em sistemas de referencia inerciais.

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Figura 4.4: Primeira lei de Newton. A soma vetorial das forças é nula.

A segunda lei de Newton afirma que a propriedade inercial de um corpo é caracterizada pela sua massa. A aceleração de um corpo submetido a ação de um conjunto de forças é diretamente proporcional a soma vetorial das forças que atuam sobre o corpo (a força resultante) é inversamente proporcional a massa do corpo. Como na primeira, a segunda lei de Newton vale apenas em sistemas de referencia inerciais.

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Figura 4.5: Segunda lei de Newton. A força resultante produz aceleração no corpo.

Demonstração Computacional 4.1: Segunda lei de Newton

Exemplo 4.2: Um disco de hóquei em aceleração

Um disco de hóquei com massa de 0,30 kg desliza sobre a superfície horizontal sem atrito de uma pista de gelo. Dois bastões de hóquei batem no disco ao mesmo tempo, exercendo forças sobre ele. A força Fisica1-Cap4_15.png tem módulo de 5,0 N, fazendo um ângulo de -20º com o eixo +x, e a força Fisica1-Cap4_16.png tem módulo de 8,0 N fazendo um ângulo de 60º com o eixo +x. Determine o módulo e a direção da aceleração do disco.

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Exercício 4.2: A garçonete

Uma garçonete empurra uma garrafa de ketchup de massa igual a 0,45 kg ao longo de um balcão liso e horizontal. Quando a garrafa deixa sua mão, ela possui velocidade de 2,8 m/s, que depois diminui por causa do atrito horizontal constante exercido pela superfície superior do balcão. A garrafa percorre uma distância de 1,0 m até parar. Determine o módulo, a direção e o sentido da força que faz a garrafa parar.

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O peso de um corpo é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. O peso é uma grandeza vetorial. O módulo do peso de um corpo em um local especifico é igual ao produto de sua massa m pelo módulo da aceleração da gravidade g nesse local. O peso de um corpo depende do local onde ele se encontra; porém, a massa é sempre a mesma, independentemente do local.

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Figura 4.6: Segunda lei de Newton. O peso de um corpo de massa m é uma força.

Exemplo 4.3: Massa e peso

Um carro de Grand Prix de Fisica1-Cap4_20.png N em movimento ao longo da direção e sentido do eixo +x para repentinamente em uma situação de emergência; o componente x da força resultante que atua sobre o carro é Fisica1-Cap4_21.png N. Qual é sua aceleração?

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Exercício 4.3: O asteroide

A mochila de uma astronauta pesa 17,5 N quando ela está na superfície terrestre, mas apenas 3,24 N na superfície de um asteroide.
(a) Qual é a aceleração da gravidade nesse asteroide?
(b) Qual é a massa da mochila no asteroide?

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A terceira lei de Newton afirma que, quando dois corpos interagem, a força que o primeiro exerce sobre o segundo é exatamente igual em módulo e contraria a força que o segundo exerce sobre o primeiro. Essas forças são denominadas forças de ação e reação. Cada força de um par de ação e reação atua separadamente em somente um corpo; as forças de ação e reação nunca podem atuar sobre o mesmo corpo.

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Figura 4.7: Terceira lei de Newton. Ação e reação.

4.4  Uso da primeira lei de Newton - partícula em equilíbrio

Quando um corpo está em equilíbrio em um sistema de referencia inercial — ou seja, está em repouso ou movendo-se com velocidade constante —, a soma vetorial das forças que atuam sobre ele é igual a zero.

O diagrama do corpo livre é essencial para identificar as forças que atuam sobre o corpo sendo considerado.

A terceira lei de Newton (ação e reação) geralmente também é necessária em problemas de equilíbrio. As duas forças de um par de ação e reação nunca atuam sobre o mesmo corpo.

A força normal exercida sobre um corpo por uma superfície nem sempre é igual ao peso do corpo.

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Figura 4.8: Primeira lei de Newton. Tração e força normal.

Demonstração Computacional 4.2: Equilíbrio estático

Exemplo 4.4: O motor

O motor de um automóvel com peso p esta suspenso por uma corrente que esta ligada por um anel O a duas outras correntes, uma delas amarrada ao teto e a outra presa na parede. Ache as expressões para a tensão em cada uma das três correntes em função de p. Despreze o peso das correntes e do anel em comparação com o peso do motor.

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Exercício 4.4: Um semáforo em repouso

Um semáforo pesando 122 N pende de um cabo ligado a dois outros presos a um suporte. Os cabos superiores formam ângulos de 37,0º e 53,0º com a horizontal. Estes cabos não são tão fortes quanto o cabo vertical, e se quebrarão se a tensão neles for maior que 100 N. O semáforo permanecerá pendurado nesta situação, ou um dos cabos quebrará?

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4.5  Uso da segunda lei de Newton - dinâmica da partícula

Quando a soma vetorial das forças que atuam sobre um corpo não é igual a zero, o corpo possui uma aceleração, que está relacionada à força resultante pela segunda lei de Newton.

Como no caso dos problemas envolvendo equilíbrio, o diagrama do corpo livre e essencial para a solução de problemas envolvendo a segunda lei de Newton, e a força normal exercida sobre um corpo nem sempre é igual a seu peso.

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Figura 4.9: Segunda lei de Newton. O plano inclinado.

Demonstração Computacional 4.3: Plano inclinado sem atrito

Exemplo 4.5: O carro em fuga

Um carro de massa m está em uma rampa de garagem coberta de gelo, inclinada a um ângulo θ, como na figura.
(a) Encontre a aceleração do carro supondo que a rampa seja sem atrito.
(b) Suponha que o carro seja liberado do repouso no topo da rampa e que a distância do para-choque dianteiro até a parte inferior da rampa seja d. Quanto tempo levará para que o para-choque atinja a parte inferior da ladeira e com que velocidade o carro chegará lá?

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Exercício 4.5: O barco

Um barco projetado para deslizar no gelo está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Sopra um vento de modo que, 4,0 s após a partida, o barco atinge uma velocidade de 6,0 m/s (cerca de 22 km/h). Qual é a força horizontal constante Fisica1-Cap4_32.png que o vento exerce sobre o barco? A massa total do barco mais a massa do velejador e igual a 200 kg.

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Demonstração Computacional 4.4: Peso no elevador

Exemplo 4.6: Pesando um peixe em um elevador

Uma pessoa pesa um peixe de massa m em uma balança de mola presa ao teto de um elevador, como ilustra a figura.
(a) Mostre que se o elevador acelerar, tanto para cima quanto para baixo, a balança de mola fornece uma leitura que é diferente do peso do peixe.
(b) Avalie as leituras da balança para um peixe de 40,0 N se o elevador se mover com uma aceleração Fisica1-Cap4_35.png m/Fisica1-Cap4_36.png.

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Exercício 4.6: Tensão no cabo de um elevador

Um elevador e sua carga possuem massa total igual a 800 kg. O elevador está inicialmente descendo com velocidade igual a 10,0 m/s; a seguir, ele atinge o repouso em uma distância de 25,0 m. Ache a tensão T no cabo de suporte enquanto o elevador está diminuindo de velocidade até atingir o repouso.

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4.6  Atrito e resistência de um fluido

A força de contato entre dois corpos sempre pode ser representada em termos de uma força normal Fisica1-Cap4_39.png perpendicular à superfície de contato e de uma força de atrito Fisica1-Cap4_40.png paralela a essa superfície.

Quando um corpo está deslizando sobre uma superfície, a força de atrito é chamada de força cinética. Seu módulo Fisica1-Cap4_41.png é aproximadamente igual ao módulo da força normal n multiplicado pelo coeficiente de atrito cinético Fisica1-Cap4_42.png.

Quando não há movimento relativo a uma superfície, a força de atrito é chamada de estática. A força de atrito máxima é aproximadamente igual ao módulo n da força normal multiplicado pelo coeficiente de atrito estático Fisica1-Cap4_43.png. A força de atrito estático real deve estar compreendida entre zero e seu valor máximo, dependendo da situação. Geralmente Fisica1-Cap4_44.png é maior que Fisica1-Cap4_45.png para um dado par de superficies de contato.

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Figura 4.10: Esquerda - Visão microscópica das forças de atrito e normal. Direita - Quando um bloco é empurrado ou puxado ao longo de uma superfície, esta exerce uma força de contato sobre o bloco.

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Figura 4.11: Regiões de aplicação das forças de atrito estático e cinético.

Demonstração Computacional 4.5: Força de atrito

Exemplo 4.7: Determinação experimental de coeficientes de atrito

Vamos discutir um método simples de se medir coeficientes de atrito. Suponha que um bloco seja colocado em uma superfície áspera inclinada em relação ao plano horizontal, como mostrado na figura. O ângulo do plano inclinado é aumentado até que o bloco comece a se mover. Mostre que você pode obter medindo Fisica1-Cap4_49.png o ângulo crítico Fisica1-Cap4_50.png, em que este deslizamento ocorre.

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Exercício 4.7: Atrito em um movimento horizontal

Você está tentando mover um engradado de 500 N sobre um piso plano. Para iniciar o movimento, você precisa aplicar uma força horizontal de módulo igual a 230 N. Depois de iniciado o movimento do engradado, você necessita de apenas 200 N para manter o movimento com velocidade constante. Quais são os coeficientes de atrito estático e de atrito cinético?

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O atrito de rolamento é semelhante ao atrito cinético. Podemos definir um coeficiente de atrito de rolamento, Fisica1-Cap4_53.png, como a força horizontal necessária para um deslocamento com velocidade constante sobre uma superfície plana dividida pela força normal de baixo para cima exercida pela superfície.

A força da resistência de um fluido depende da velocidade escalar de um objeto que atravessa o fluido. O corpo que se move exerce uma força sobre o fluido para afastá-lo de seu caminho. Pela terceira lei de Newton, o fluido exerce sobre o corpo uma força igual e contrária.

Para pequenos objetos movendo-se em baixas velocidades, o módulo f da força da resistência de um fluido
é aproximadamente proporcional à velocidade do corpo v. Quando o movimento ocorre no ar, a força é aproximadamente proporcional a Fisica1-Cap4_54.png.

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Figura 4.12: Forças de resistência agindo sobre um corpo em um fluido.

Em virtude dos efeitos da resistência do fluido, um objeto caindo em um fluido não terá aceleração constante. Quando as forças se igualam (∑F=0):

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Demonstração Computacional 4.6: Velocidade terminal em fluidos

Exemplo 4.8: Esfera caindo em óleo

Uma pequena esfera de massa 2,00 g é liberada do repouso em uma vasilha grande cheia de óleo, onde ela experimenta uma força resistiva proporcional à sua velocidade, com b sendo a constante de proporcionalidade. A esfera atinge uma velocidade terminal de 5,00 cm/s. Determine a constante de tempo τ=m/b e o instante em que a esfera atinge 90,0% de sua velocidade terminal.

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Exercício 4.8: Velocidade terminal de um paraquedista

Para um corpo humano caindo no ar em posição horizontal, o valor da constante D na equação da força resistiva é aproximadamente igual a 0,25 kg/m. Considerando um paraquedista de 50,0 kg, ache sua velocidade terminal.

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4.7  Forças em movimento circular

Em um movimento circular uniforme, o vetor aceleração é dirigido para o centro do círculo.

O movimento é governado pela segunda lei de Newton, Fisica1-Cap4_61.png.

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Figura 4.13: Relações dinâmicas no movimento circular.

Demonstração Computacional 4.7: Dinâmica do movimento circular

O módulo da aceleração é constante; logo, o módulo da força resultante Fisica1-Cap4_64.png também é constante. Caso a força para dentro deixe de atuar, a partícula é expelida para fora, descrevendo uma linha reta tangente ao circulo.

Demonstração Computacional 4.8: Movimento circular e a inercia

Exemplo 4.9: O pêndulo cónico

Uma pequena bola de massa m é suspensa por um barbante de comprimento L. A bola gira com velocidade constante v em um círculo horizontal de raio r como mostrado na figura. (Como o barbante passa por toda a superfície de um cone, o sistema é chamado de pêndulo cónico.) Encontre uma expressão para v.

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Exercício 4.9: Força no movimento circular uniforme

Um trenó com massa de 25,0 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal de gelo, essencialmente sem atrito. Ele está amarrado a um poste fixado no gelo por uma corda de 5,0 m. Quando empurrado, o trenó gira uniformemente e faz um círculo em torno do poste. Considerando que o trenó completa cinco rotações por minuto, ache a força F exercida sobre ele pela corda.

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Exemplo 4.10: O carro na estrada curva

Um carro de 1.500 kg movimentando-se em uma estrada plana e horizontal faz uma curva, como mostra a figura esquerda.
(a) Se o raio da curva é de 35,0 m e o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o calçamento seco é de 0,523, encontre a velocidade máxima que o carro pode atingir e, ainda assim, fazer a curva com sucesso.
(b) Suponha que o carro percorra esta curva em um dia húmido e comece a derrapar na curva ao atingir a velocidade de 8,00 m/s. O que pode ser dito sobre o coeficiente de atrito estático neste caso?

Um engenheiro civil quer redesenhar a estrada curva de tal maneira que um carro não terá que depender do atrito para fazer a curva sem derrapar. Ou seja, um carro se movendo com a velocidade designada pode fazer a curva mesmo quando a estrada está coberta de gelo. Tal rampa é geralmente inclinada, o que significa que a estrada é inclinada em direção à parte interna da curva como na figura direita.
(c) Suponha que quer manter a velocidade máxima para a rampa e o raio da curva. A que ângulo a curva deveria ser inclinada?

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Exercício 4.10: Com que velocidade ele pode girar?

Um disco de massa 0,500 kg está preso à ponta de uma corda de 1,50 m de comprimento. O disco se move em um círculo horizontal, como mostra a figura. Se a corda suporta uma tensão máxima de 50,0 N, qual é a velocidade máxima com a qual o disco pode se mover antes de a corda arrebentar? Suponha que o barbante permanece horizontal durante o movimento.

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4.8  Problemas

1.    Lesões à coluna vertebral: No tratamento de lesões da coluna, em geral é necessário fornecer uma tensão ao longo da coluna vertebral para esticá-la. Um dispositivo para fazer isso é a estrutura de Stryker (figura). Um peso P é preso ao paciente (às vezes, em torno de um colar cervical), e o atrito entre o corpo da pessoa e a cama impede o deslizamento. (a) Se o coeficiente de atrito estático entre o corpo de um paciente de 78,5 kg e a cama é 0,75, qual é a força de tração máxima ao longo da coluna vertebral que P pode fornecer sem fazer com que o paciente deslize? (b) Sob as condições de tração máxima, qual é a tensão em cada cabo preso ao colar cervical?

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2.    O carro pendurado: Um carro de 1.130 kg está seguro por um cabo leve, sobre uma rampa muito lisa (sem atrito), como indicado na figura. O cabo forma um ângulo de 31,0º sobre a superfície da rampa, e a rampa ergue-se 25,0º acima da horizontal. (a) Desenhe um diagrama do corpo livre para o carro. (b) Ache a tensão no cabo. (c) Com que intensidade a superfície da rampa empurra o carro?

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3.    A queda da Génesis: Em 08 de setembro de 2004, a espaço-nave Génesis caiu no deserto de Utah porque seu paraquedas não abriu. A cápsula de 210 kg atingiu a Terra a 311 km/h e penetrou o solo até uma profundidade de 81,0 cm. (a) Supondo que fosse constante, qual era sua aceleração (em m/Fisica1-Cap4_72.png e em g) durante o impacto? (b) Qual é a força que o solo exerceu sobre a cápsula durante o impacto? Expresse a força em newtons e como múltiplo do peso da cápsula. (c) Quanto tempo durou essa força?

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4.    Projeto pista de pouso: Um avião de carga decola de um campo plano rebocando dois planadores, um atrás do outro. A massa de cada planador é de 700 kg, e a resistência total (força de arraste do ar mais atrito com a pista) em cada um pode ser considerada constante e igual a 2.500 N. A tensão no cabo de reboque entre o avião de carga e o primeiro planador não deve exceder 12.000 N. (a) Se a decolagem exige uma velocidade escalar de 40 m/s, qual deve ser a extensão mínima da pista? (b) Qual é a tensão na corda de reboque entre os dois planadores enquanto eles aceleram para a decolagem?

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5.    O átomo de Bohr: No modelo de Bohr do átomo de hidrogénio, um elétron move-se em uma trajetória circular ao redor de um próton. A velocidade do elétron é de aproximadamente Fisica1-Cap4_75.png m/s. Encontre (a) a força que atua sobre o elétron enquanto ele gira em uma órbita circular de raio Fisica1-Cap4_76.png m e (b) a aceleração centrípeta do elétron.

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6.    Jogando uma rocha: Uma rocha é atirada verticalmente para cima. A força de arraste é proporcional a Fisica1-Cap4_78.png. Em termos de g, qual é o componente y da aceleração quando a velocidade é igual à metade da velocidade terminal, supondo que: (a) ela se mova para cima? (b) Ela se mova de volta para baixo?

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7.    No parque de diversões: O “balanço gigante” de um parque de diversões consiste em um eixo vertical central com diversos braços horizontais ligados em sua extremidade superior. Cada braço suspende um assento por meio de um cabo de 5,0 m de comprimento, e a extremidade superior do cabo está presa ao braço a uma distância de 3,0 m do eixo central. (a) Calcule o tempo para uma volta do balanço quando o cabo que suporta o assento faz um ângulo de 30,0º com a vertical. (b) O ângulo depende do passageiro para uma dada velocidade de rotação?

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8.    Estação espacial girando:  Um problema para a vida humana no espaço exterior é o peso aparente igual a zero. Um modo de contornar o problema seria fazer a estação espacial girar em torno do centro com uma taxa constante. Isso criaria uma “gravidade artificial” na borda externa da estação espacial. (a) Se o diâmetro da estação espacial for igual a 800 m, quantas rotações por minuto seriam necessárias a fim de que a aceleração da “gravidade artificial” fosse igual a 9,80 m/Fisica1-Cap4_81.png? (b) Se a estação espacial fosse projetada como área de espera para viajantes indo para Marte, seria desejável simular a aceleração da gravidade na superfície de Marte (3,70 m/Fisica1-Cap4_82.png). Quantas rotações por minuto seriam necessárias neste caso?

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9.    Indiana Jones: O arqueólogo aventureiro passa de um rochedo para outro deslocando-se lentamente com as mãos por uma corda esticada entre os rochedos. Ele para e fica em repouso no meio da corda. A corda se romperá se a tensão for maior que Fisica1-Cap4_84.png N e se a massa do nosso herói for de 90,0 kg. (a) Se o ângulo θ for igual a 10,0º, qual é a tensão na corda? (b) Qual deve ser o menor valor de θ para a corda não se romper?

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10.    Atrito em um elevador:  Você está dentro de um elevador que está indo para o décimo oitavo andar do seu prédio. O elevador sobe com uma aceleração a = 1,90 m/Fisica1-Cap4_86.png. Abaixo de você está uma caixa pesada; a massa total da caixa com o conteúdo é de 36,0 kg. Enquanto o elevador está acelerando, você empurra a caixa horizontalmente com velocidade constante para a porta do elevador. Se o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o piso do elevador é Fisica1-Cap4_87.png = 0,32, qual é o módulo da força que você deve aplicar?

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