Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

3.  Movimento em duas ou três dimensões

3.1  Introdução

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Figura 3.1: Um exemplo de movimento em duas dimensões. O roda da fortuna em longa exposição. Vetores de posição, velocidade e aceleração estão presentes no sistema.

Para entender os movimentos realistas de corpos no espaço, é necessário estender a descrição do movimento para duas e três dimensões. Continuaremos a usar as grandezas vetoriais de deslocamento, velocidade e aceleração, mas não vamos mais considerar movimentos ao longo de uma linha reta.

Verificaremos que muitos movimentos importantes ocorrem somente em duas dimensões, ou seja, estão contidos em um plano.

Também será necessário considerar como o movimento de uma partícula é descrito por observadores que possuem movimentos relativos entre si. O conceito de velocidade relativa desempenhará um papel importante quando estudarmos as colisões, explorarmos os fenómenos eletromagnéticos e introduzirmos a fascinante teoria da relatividade de Einstein.

3.2  Vetor posição e vetor velocidade

O vetor posição Fisica1-Cap3_2.png é um vetor que vai da origem do sistema de coordenadas a um ponto P do espaço, cujas coordenadas cartesianas são x, y e z.

O vetor velocidade media Fisica1-Cap3_3.png durante um intervalo de tempo Δt é o deslocamento ΔFisica1-Cap3_4.png (a variação no vetor posição Fisica1-Cap3_5.png) dividido por Δt.

O vetor velocidade instantânea Fisica1-Cap3_6.png é a derivada em relação ao tempo de Fisica1-Cap3_7.png, e seus componentes são as derivadas em relação ao tempo de x, y e z. A velocidade escalar instantânea é o módulo de Fisica1-Cap3_8.png.

O vetor velocidade de uma partícula é sempre tangente à trajetória da partícula.

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Figura 3.2: Esquerda - O vetor posição da origem O até o ponto P possui componentes x, y e z. Direita - Os vetores Fisica1-Cap3_10.png e Fisica1-Cap3_11.png são as velocidades instantâneas nos pontos Fisica1-Cap3_12.png e Fisica1-Cap3_13.png.

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Figura 3.3: Vetores velocidade média e instantânea a partir do vetor posição.

O módulo do vetor velocidade instantânea Fisica1-Cap3_15.png — isto é, a velocidade escalar — é dado em termos dos componentes Fisica1-Cap3_16.png, Fisica1-Cap3_17.png e Fisica1-Cap3_18.png pelo teorema de Pitágoras. Também, a direção da velocidade instantânea Fisica1-Cap3_19.png é dada pelo ângulo α, usando a definição da tangente:

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Demonstração Computacional 3.1: Vetor posição e vetor velocidade

Exemplo 3.1: Cálculo da velocidade instantânea e média

Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo, que será representado por um ponto, possui componentes x  e  y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação:

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(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t = 2,0 s.
(b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo entre t = 0,0 s  e  t = 2,0 s.
(c) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea Fisica1-Cap3_24.png. Expresse esta velocidade instantânea em t = 2,0 s, usando componentes e também em termos de módulo e direção.

Exercício 3.1: Web-designer

Uma web-designer cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição:

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(a) Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade média do ponto para o intervalo entre  t = 0 s e t = 2 s.
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade instantânea para  t = 0, t = 1 s e t = 2 s.
(c) Faça um desenho da trajetória do ponto no intervalo entre t = 0 s e t = 2 s e mostre as velocidades calculadas em (b).

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3.3  Vetor aceleração

O vetor aceleração media Fisica1-Cap3_27.png durante um intervalo Δt é a variação do vetor velocidade ΔFisica1-Cap3_28.png dividido por Δt.

O vetor aceleração instantânea Fisica1-Cap3_29.png é a derivada em relação ao tempo de Fisica1-Cap3_30.png, e seus componentes são as derivadas em relação ao tempo de Fisica1-Cap3_31.png, Fisica1-Cap3_32.png e Fisica1-Cap3_33.png.

O componente de aceleração paralelo a direção da velocidade instantânea afeta o módulo da velocidade, enquanto o componente de Fisica1-Cap3_34.png perpendicular a Fisica1-Cap3_35.png afeta a direção do movimento.

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Figura 3.4: Vetores aceleração média e instantânea a partir do vetor velocidade.

Demonstração Computacional 3.2: Vetor aceleração instantânea

Exemplo 3.2: Cálculo da aceleração instantânea e média

Vamos analisar novamente os movimentos do veículo robótico mencionado no Exemplo 3.1.
(a) Calcule os componentes do vetor aceleração média no intervalo entre t = 0,0 s e t = 2,0 s.
(b) Ache a aceleração instantânea em t = 2,0 s.
(c) Ache os componentes paralelos e perpendiculares da aceleração em t = 2,0 s.

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Exercício 3.2: O pássaro

Um pássaro voando em um plano xy possui coordenadas:

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(a) Faça um esboço da trajetória do pássaro entre t = 0,0 s  e  t = 2,0 s.
(b) Ache o vetor velocidade e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo.
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do vetor velocidade e do vetor aceleração do pássaro para t = 2,0 s.
(d) Faça um esboço do vetor velocidade e do vetor aceleração do pássaro para t = 2,0 s. Nesse instante, a velocidade escalar do pássaro está aumentando, diminuindo ou é constante? O pássaro está fazendo uma volta? Se estiver, em que sentido?

Movimento bidimensional com aceleração constante: Consideremos um movimento bidimensional durante o qual o módulo e a direção da aceleração permanecem inalterados (Fisica1-Cap3_41.png). Nessa situação,

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Figura 3.5: Equações cinemáticas vetoriais para aceleração constante.

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Figura 3.6: Representações de vetores e componentes de (a) velocidade e (b) posição de uma partícula movendo-se com vetor aceleração constante.

Exemplo 3.3: Movimento em um plano

Uma partícula se move no plano xy, começando da origem em t = 0 com velocidade inicial Fisica1-Cap3_44.png, tendo duas componentes: x de 20 m/s  e  y de –15 m/s. A partícula experimenta uma aceleração a na direção x, que é dada por Fisica1-Cap3_45.png = 4,0  m/Fisica1-Cap3_46.png.
(a) Determine o vetor velocidade total em qualquer instante.
(b) Calcule a velocidade e a velocidade escalar da partícula em t = 5,0 s e o ângulo que o vetor velocidade forma com o eixo x.
(c) Determine as coordenadas x e y da partícula em qualquer instante t e seu vetor posição nesse instante.

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Exercício 3.3: O peixe

Um peixe nadando em um plano horizontal tem velocidade Fisica1-Cap3_48.png, em um ponto do oceano onde a posição relativa a uma determinada pedra é Fisica1-Cap3_49.png. Após o peixe nadar com aceleração constante por 20,0 s, sua velocidade é Fisica1-Cap3_50.png.

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(a) Quais são as componentes da aceleração do peixe?
(b) Qual é a direção da sua aceleração com relação ao vetor unitário Fisica1-Cap3_53.png?
(c) Se o peixe mantém aceleração constante, onde ele está em t = 25,0 s e em que direção está se movendo?

3.4  Movimento de um projétil

No movimento de um projétil, desprezada a resistência do ar, Fisica1-Cap3_54.png = 0  e  Fisica1-Cap3_55.png = - g.

Geralmente definimos a origem na posição inicial do projétil.

As coordenadas e os componentes da velocidade em função do tempo são simples funções de tempo, e o formato da trajetória é sempre uma parábola.

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Figura 3.7: Componentes do vetor posição e do vetor velocidade dependem do tempo,  para o movimento de um projétil.

Podemos deduzir a equação da forma da trajetória em termos de x e de y eliminando t. Se encontra que o formato da trajetória é sempre uma parábola:

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Figura 3.8: Esquerda - Os componentes de velocidade inicial de um projétil ((como um bola de futebol chutada). Direita - A resistência do ar tem um efeito amplo no movimento de uma bola de beisebol.

Demonstração Computacional 3.3: Movimento de um projétil

Exemplo 3.4: Uma bola de beisebol

Uma bola de beisebol deixa o bastão do batedor com uma velocidade inicial Fisica1-Cap3_60.png = 37,0 m/s e com um ângulo inicial α = 53,1º.
(a) Ache a posição da bola e o módulo, a direção e o sentido de sua velocidade para t = 2,00 s.
(b) Calcule o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória e ache a altura h nesse instante.
(c) Ache o alcance horizontal R - ou seja, a distancia entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo - e a velocidade da bola imediatamente antes de alcançar o solo.

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Exercício 3.4: Um corpo projetado horizontalmente

Um motociclista dublê se projeta para fora da beira de um penhasco. No ponto exato da borda, sua velocidade é horizontal e possui módulo igual a 9,0 m/s. Ache a posição do motociclista, a distância da borda do penhasco e a velocidade 0,50 s após ele  ter saído da beira do penhasco.

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Exemplo 3.5: Altura maxima e alcance máximo

Para um projétil lançado com velocidade inicial Fisica1-Cap3_63.png e formando um ângulo Fisica1-Cap3_64.png (entre 0° e 90°), deduza expressões gerais para a altura máxima h e para o alcance horizontal R. Para um dado Fisica1-Cap3_65.png, qual valor de Fisica1-Cap3_66.png fornece altura máxima? Qual valor fornece o alcance máximo?

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Exercício 3.5: Alturas diferentes

Você  lança uma bola de sua janela a 8,0 m acima do solo. Quando a bola deixa sua mão, ela se move a 10,0 m/s, formando um ângulo de 20º abaixo da horizontal. A que distância horizontal de sua janela a bola atinge o solo? Despreze a resistência do ar.

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3.5  Movimento circular uniforme e não uniforme

Quando uma partícula se move ao longo de um circulo de raio R com velocidade escalar v constante (movimento circular uniforme), ela possui aceleração Fisica1-Cap3_69.png dirigida para o centro do circulo e perpendicular ao vetor Fisica1-Cap3_70.png.

O módulo Fisica1-Cap3_71.png da aceleração pode ser expresso em termos de v e R ou em termos de R e o período T (o tempo de uma rotação), onde v = 2π R/T.

Se o módulo da velocidade não for constante no movimento circular não uniforme, ainda existirá um componente radial de Fisica1-Cap3_72.png, mas existira também um componente de Fisica1-Cap3_73.png paralelo (tangencial) a trajetória. Esse componente tangencial é igual a taxa de variação da velocidade escalar, dv/dt.

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Figura 3.9: Relações cinemáticas para o movimento circular uniforme.

Como uma rotação completa da partícula ao redor do círculo corresponde a um ângulo de 2π  radianos, o produto de 2π e a taxa de rotação fornecem a velocidade angular ω da partícula, medida em rad/s ou Fisica1-Cap3_75.png. Combinando com as definições anteriores, obtemos relações entre a aceleração radial, a velocidade tangencial e a velocidade angular:

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Quando a velocidade não é constante, a aceleração efetiva desvia da aceleração puramente radial e surge uma componente tangencial do vetor Fisica1-Cap3_77.png:

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Figura 3.10: Se o carro está em movimento circular uniforme, como em (a), a velocidade escalar é constante e a aceleraçâo é orientada para o centro da trajetória circular.

Demonstração Computacional 3.4: Movimento circular uniforme

Exemplo 3.6: O parque de diversões

Em um brinquedo de um parque de diversões, os passageiros viajam com velocidade constante em um círculo de raio 5,0 m. Eles fazem uma volta completa no círculo em 4,0 s. Qual é a aceleração deles?

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Exercício 3.6: A estrada curva

O carro esportivo Aston Martin V8 Vantage possui “aceleração lateral” de 0,96g. Isso representa a aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória circular. Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 144 km/h, qual é o raio R mínimo da curva que ele pode aceitar? (Suponha que a curva não possua inclinação lateral.)

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Exemplo 3.7: Acima da elevação

Um carro parte de um sinal de Pare e exibe aceleração constante de 0,300 m/Fisica1-Cap3_83.png paralela à estrada. Ele passa em cima de uma elevação na estrada, que tem a parte de cima em formato de círculo com raio de 500 m. No momento em que o carro está em cima da elevação, seu vetor velocidade é horizontal e tem módulo de 6,00 m/s. Quais são o módulo e a direção do vetor aceleração total para o carro neste instante?

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Exercício 3.7: Sistema Terra-Sol

Qual é a aceleração centrípeta da Terra conforme ela se move em sua órbita ao redor do Sol?

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3.6  Velocidade relativa

Quando um corpo P se move em relação a outro corpo (ou sistema de referencia) B, e B se move em relação a um corpo (ou sistema de referencia) A, designamos a velocidade de P relativa a B por Fisica1-Cap3_86.png, a velocidade de P relativa a A por Fisica1-Cap3_87.png e a velocidade de B relativa a A por Fisica1-Cap3_88.png.

Se essas velocidades estiverem ao longo da mesma linha, seus componentes ao longo dessa linha estão relacionados pela lei de soma de velocidades.

De modo geral, essas velocidades estão relacionadas pela soma vetorial.

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Figura 3.11: Velocidade relativa resultante de um avião em relaçâo à Terra.

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Figura 3.12: (a) Uma passageira atravessando um vagão de trem de um lado a outro. (b) Posição da mulher em relação ao sistema de referência do ciclista e ao sistema de referência do trem. (c) Diagrama vetorial para a velocidade da mulher em relação ao solo (o sistema de referência do ciclista), Fisica1-Cap3_91.png

Demonstração Computacional 3.5: Movimento relativo em um trem.

Exemplo 3.8: Velocidade relativa em uma estrada retilínea

Você está dirigindo para o norte por uma estrada retilínea de duas pistas com velocidade constante de 88 km/h. Um caminhão se aproxima em sentido contrário com velocidade constante de 104 km/h.
(a) Qual a velocidade do caminhão em relação a você?
(b) Qual a sua velocidade em relação ao caminhão?
(c) Como as velocidades relativas variam depois que o caminhão cruzar com você? Trate este problema como unidimensional.

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Exemplo 3.9: Voando com vento cruzado

A bússola de um avião mostra que ele se desloca para o norte, e seu indicador de velocidade do ar mostra que ele está se movendo no ar com velocidade igual a 240 km/h.
(a) Se existe um vento de 100 km/h de leste para oeste, qual é a velocidade do avião em relação à Terra (figura esquerda)?
(b) Em que direção o piloto deve inclinar o avião para que ele siga para o norte? Qual seria, então, sua velocidade em relação à Terra (figura direita)?

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Exercício 3.8: O motorista bêbado

Um motorista bêbado dirige seu carro a 85 mi/h enquanto joga sua garrafa de cerveja pela janela a 15 mi/h, em relação ao carro.

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(a) Qual é a velocidade da garrafa, em relação à estrada, se a garrafa é lançada para a frente?
(b) Qual é a velocidade da garrafa, em relação à estrada, se a garrafa é lançada para trás?
(c) Qual é a velocidade da garrafa, em relação à estrada, se a garrafa é atirada diretamente para a esquerda do motorista bêbado?
(d) Em relação à estrada, qual é o ângulo que a garrafa faz na direção do caminhão?

3.7  Problemas

1.    Vetor posição: Se Fisica1-Cap3_96.png, onde b e c são constantes positivas, quando o vetor velocidade criará um ângulo de 45,0º com os eixos x e y?

2.    Um foguete de teste: Se um foguete de teste é lançado por aceleração ao longo de um plano inclinado de 200,0 m, a 1,9 m/Fisica1-Cap3_97.png, partindo do repouso no ponto A como na Figura. O plano inclinado se ergue a 35,0º sobre a horizontal e, no instante em que o foguete parte dele, os motores se apagam e ele fica sujeito somente à gravidade (a resistência do ar pode ser desprezada). Determine (a) a altura máxima sobre o solo atingida pelo foguete e (b) o maior alcance horizontal do foguete a partir do ponto A.

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3.    Amazónia pegando fogo: No combate a incêndios em florestas, aviões jogam água para ajudar equipes que trabalham no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo no solo. Se o avião está voando horizontalmente a 90,0 m acima do solo com velocidade de 64,0 m/s, a que distância horizontal do alvo o piloto deve lançar a caixa? Despreze a resistência do ar.

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4.    Situação portuária: Um navio se aproxima do porto a 45,0 cm/s e uma importante peça do equipamento de ancoragem precisa ser lançada para que ele possa aportar. Esse equipamento é lançado a 15,0 m/s e 60,0º acima da horizontal, do topo de uma torre, à beira da água, 8,75 m acima do convés do navio. Para esse equipamento cair na frente do navio, a que distância D da doca o navio deve estar quando o equipamento for lançado? Despreze a resistência do ar.

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5.    Saltando no rio: Um professor de física faz loucas proezas em suas horas vagas. Sua última façanha foi tentar saltar sobre um rio com sua motocicleta. A rampa de decolagem era inclinada em 53,0º, a largura do rio era de 40,0 m, e a outra margem estava a 15,0 m abaixo do topo da rampa. O rio estava a 100 m abaixo do nível da rampa. Despreze a resistência do ar. (a) Qual deveria ser a velocidade dele para que pudesse alcançar a outra margem sem cair no rio? (b) Caso sua velocidade fosse igual à metade do valor encontrado em (a), onde ele cairia?

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6.    Michael Jordan: Um jogador de basquete está em pé a 10,0 m da cesta. A altura da cesta é de 3,05 m, e ele lança a bola a um ângulo de 40,0° com a horizontal, a uma altura de 2,00 m. (a) Qual é a aceleração da bola de basquete no ponto máximo da sua trajetória? (b) Com que velocidade o jogador deve lançar a bola para que passe pelo aro sem bater na tabela?

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7.    Gotas de chuva: Quando a velocidade de um trem é de 12,0 m/s na direção leste, as gotas de chuva que caem verticalmente em relação à superfície terrestre deixam vestígios com inclinação de 30,0º em relação à vertical, nas janelas do trem. (a) Qual é o componente horizontal da velocidade de uma gota em relação à superfície terrestre? E em relação ao trem? (b) Qual é o módulo da velocidade da gota em relação à superfície terrestre? E em relação ao trem?

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8.    Copa do Mundo: Em uma partida de futebol da Copa do Mundo, Neymar está correndo para o gol na direção norte, com velocidade de 8,0 m/s em relação ao solo. Um jogador do seu time passa a bola para ele. A bola tem velocidade de 12,0 m/s e se move em uma direção de 37,0º a nordeste em relação ao solo. Quais são o módulo e a direção da velocidade da bola em relação à Neymar?

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9.    O “Cometa Vómito”: Em treinamento de astronautas e testes de equipamento em micro-gravidade, a NASA faz voar uma aeronave KC135A ao longo de uma trajetória parabólica de voo. A aeronave sobe de 24.000 pés para 31.000 pés, onde entra em uma trajetória parabólica com velocidade de 143 m/s com o nariz para cima a 45,0º e sai com velocidade 143 m/s a 45,0º e o nariz para baixo. Durante essa parte do voo, a aeronave e os objetos dentro da cabine acolchoada estão em queda livre; os astronautas e o equipamento flutuam livremente como se não houvesse gravidade. Qual é (a) a velocidade da aeronave e (b) sua altitude no topo da manobra? (c) Qual é o intervalo de tempo passado na micro-gravidade?

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10.    Cuidado! Uma bola de neve rola do telhado de um celeiro que possui uma inclinação para baixo igual a 40º. A extremidade do telhado está situada a 14,0 m acima do solo e a bola de neve possui velocidade de 7,00 m/s quando abandona o telhado. Despreze a resistência do ar. (a) A que distância do celeiro a bola de neve atingirá o solo caso não colida com nada durante sua queda? (b) Faça diagramas xt, yt, Fisica1-Cap3_106.pngt e  Fisica1-Cap3_107.pngt para o movimento do item (a). (c) Um homem de 1,9 m de altura está parado a uma distância de 4,0 m da extremidade do celeiro. Ele será atingido pela bola de neve?

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