Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

2.  Movimento Retilíneo

2.1  Introdução

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Figura 2.1: Um velocista em geral acelera gradualmente no decorrer de uma corrida e desacelera gradualmente após cruzar a linha de chegada.

O QUE É MECÂNICA? Estamos iniciando o estudo da física com a mecânica, o estudo das relações entre força, matéria e movimento.
O objetivo aqui é o estudo da cinemática, a parte da mecânica que trata do movimento. Mais tarde, estudaremos a dinâmica, que nos ajuda a compreender por que os objetos se movem de diferentes maneiras.

Estudaremos o tipo mais simples de movimento: uma partícula se deslocando ao longo de uma linha reta. Para descrever esse movimento, introduziremos as grandezas físicas de velocidade e aceleração. Uma observação importante é que essas grandezas são vetores.

2.2  Velocidade média e velocidade instantânea

No estudo do movimento, precisamos de um sistema de coordenadas. Escolhemos o eixo Ox ao longo do trecho retilíneo, com a origem O situada no início da linha reta. Descreveremos a posição x do carro de acordo com a posição de seu ponto representativo. O carro todo é representado por esse ponto, razão pela qual o consideramos uma partícula.

A velocidade média da partícula Fisica1-Cap2_2.png em um intervalo de tempo (grandeza escalar) Fisica1-Cap2_3.png, é igual a seu deslocamento (grandeza vetorial) Fisica1-Cap2_4.png dividido por Δt.

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Figura 2.2: Posição de um carro de corrida em dois instantes de sua trajetória.

A velocidade instantânea Fisica1-Cap2_6.png em qualquer instante t é igual à velocidade média para o intervalo de tempo entre t e t + Δt até o limite em que Δt  seja zero.

Da mesma forma, Fisica1-Cap2_7.png é a derivada da função posição em relação ao tempo.

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Figura 2.3: Definição de velocidades média e instantânea.

Onde a derivada de uma função x que depende de alguma variável (como o tempo t) é calculada como:

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Demonstração Computacional 2.1: Velocidade média e instantânea

Exemplo 2.1: O leopardo africano

Um leopardo africano está de tocaia a 20 m a leste de um jipe de observação blindado. No instante t = 0, o leopardo começa a perseguir um antílope que está a 50 m a leste do veículo. Durante os 2,0 s iniciais do ataque, a coordenada x do leopardo varia com o tempo de acordo com a equação:

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(a) Determine o deslocamento do leopardo durante o intervalo entre  
Fisica1-Cap2_13.png = 1,0 s  e Fisica1-Cap2_14.png = 2,0 s.
(b) Ache a velocidade média durante o mesmo intervalo.
(c) Ache a velocidade instantânea no tempo
Fisica1-Cap2_15.png = 1,0 s, considerando Δt = 0,1 s, depois 0,01 s e, a seguir, 0,001 s.
(d) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule a velocidade
Fisica1-Cap2_16.png para Fisica1-Cap2_17.png = 1,0 s  e Fisica1-Cap2_18.png = 2,0 s.

Exercício 2.1: Velocidade média e velocidade instantânea

Uma partícula se move ao longo do eixo x. Sua posição varia no tempo de acordo com a expressão seguinte (x está em metros e t em segundos):

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(a) Determine o deslocamento da partícula nos intervalos de tempo
t = 0 para t = 1 s e t = 1 s para t = 3 s.
(b) Calcule a velocidade média durante esses dois intervalos de tempo.
(c) Desenhe um diagrama de movimento.
(d) Encontre a velocidade instantânea da partícula em
t = 2,5 s.

2.3  Aceleração média e instantânea

A aceleração media Fisica1-Cap2_21.png em um intervalo de tempo Δt é igual à variação em velocidade Fisica1-Cap2_22.png no intervalo dividido por Δt.

A aceleração instantânea Fisica1-Cap2_23.png é o limite de Fisica1-Cap2_24.png conforme Δt  tende a zero, ou a derivada de Fisica1-Cap2_25.png em relação a t.

A aceleração instantânea Fisica1-Cap2_26.png também pode-se ver como a segunda derivada da função de posição x(t):

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Figura 2.4: Definição de acelerações média e instantânea.

Exemplo 2.2: Aceleração média e aceleração instantânea de um carro

Suponha que a velocidade Fisica1-Cap2_29.png de um carro em qualquer instante t seja dada pela equação:

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(a) Ache a variação da velocidade média do carro no intervalo entre Fisica1-Cap2_32.png = 1,0 s e  Fisica1-Cap2_33.png = 3,0 s.
(b) Ache a aceleração média do carro nesse intervalo.
(c) Ache a aceleração instantânea do carro para Fisica1-Cap2_34.png = 1,0 s, considerando Δt = 0,1 s, depois 0,01 s e, a seguir, 0,001 s.
(d) Deduza uma expressão geral para a aceleração instantânea em função do tempo e, a partir dela, calcule Fisica1-Cap2_35.png para Fisica1-Cap2_36.png = 1,0 s e  Fisica1-Cap2_37.png = 3,0 s.

Exercício 2.2: Aceleração média e aceleração instantânea de uma partícula

A velocidade de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x varia de acordo com a expressão seguinte (Fisica1-Cap2_38.png está em metros por segundo e t em segundos):

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(a) Encontre a aceleração média no intervalo de tempo t = 0  a t = 2,0 s.
(b) Descreva o desenho do problema.
(c) Determine a aceleração para t = 2,0 s.

2.4  Movimento com aceleração constante

Quando a aceleração é constante, temos quatro equações que relacionam a posição x e a velocidade Fisica1-Cap2_41.png, em qualquer instante t.

Também, à posição inicial Fisica1-Cap2_42.png, a velocidade inicial Fisica1-Cap2_43.png (ambas medidas no instante t = 0) e a aceleração Fisica1-Cap2_44.png estão relacionadas.

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Figura 2.5: Equações fundamentais do movimento com aceleração constante.

Demonstração Computacional 2.2: Movimento com aceleração constante

Exemplo 2.3: Cálculos envolvendo aceleração constante

Um motociclista se dirige para o leste da cidade de Osasco (SP) e acelera a moto a uma aceleração constante de 4,0 m/Fisica1-Cap2_47.png depois de passar pela placa que indica os limites da cidade. No instante t = 0, ele está a 5,0 m a leste do sinal, movendo- se para leste a 15 m/s.
(a) Determine sua posição e velocidade para t = 2,0 s.
(b) Onde está o motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s?

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Exercício 2.3: Pouso em porta-aviões

Você deve ter visto um jato pousando em um navio porta-aviões, em filmes ou na televisão, quando o jato para em um tempo muito curto porque um cabo de aço é usado para pará-lo. Se um jato pousa em um porta-aviões a uma velocidade de 140 mi/h:
(a) Qual será sua aceleração (presumida constante) se ele parar em 2,0 s por causa do cabo de aço que prende o jato pelo gancho de retenção e faz que ele pare?
(b) Se o jato toca o solo em uma posição Fisica1-Cap2_49.png, qual é sua posição final?

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Exemplo 2.4: Dois corpos com acelerações diferentes

Um motorista dirige a uma velocidade constante de 15 m/s quando passa em frente a uma escola, onde a placa de limite de velocidade indica 10 m/s. Um policial que estava parado no local da placa acelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleração constante de 3,0 m/Fisica1-Cap2_51.png.
(a) Qual o intervalo desde o início da perseguição até o momento em que o policial alcança o motorista?
(b) Qual é a velocidade do policial nesse instante?
(c) Que distância cada veículo percorreu até esse momento?

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Exercício 2.4: Cuidado com o limite de velocidade!

Um carro viajando com velocidade constante de 45,0 m/s passa por um policial rodoviário escondido atrás de uma placa. Um segundo depois de o carro passar pela placa, o policial sai atrás dele em sua motocicleta, acelerando com taxa constante de 3,00 m/Fisica1-Cap2_53.png. Quanto tempo o policial leva para ultrapassar o carro?

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2.5  Queda livre de corpos

A queda livre é um caso particular de movimento com aceleração constante.

O módulo da aceleração da gravidade é uma grandeza positiva, g.

A aceleração de um corpo em queda livre é sempre orientada de cima para baixo.

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Figura 2.6: (a) Gravidade radial orientada para o centro. (b) Gravidade plano-paralela orientada de acima para baixo. A aceleração da gravidade é constante perto da superficie terrestre.

Demonstração Computacional 2.3: A experiência de Galileu

Exemplo 2.5: Movimento para cima e para baixo em queda livre

Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edifício alto. A bola deixa sua mão à velocidade de 15 m/s em um ponto que coincide com a extremidade superior do parapeito do edifício, a seguir, ela passa a se mover em queda livre. Quando a bola volta, ela passa raspando pelo parapeito e continua a queda. Calcule:
(a) A posição e a velocidade da bola 1,0 s e 4,0 s depois que ela deixa sua mão;
(b) A velocidade quando a bola está a 5,0 m acima do parapeito;
(c) A altura máxima atingida;
(d) A aceleração da bola quando ela se encontra em sua altura máxima.

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Exercício 2.5: Uma bola em queda

Uma bola cai de uma altura h.  (Vamos supor que não há resistência do ar para problemas de queda livre.)
(a) Encontre uma relação para seu tempo de queda.
(b) Qual é a velocidade da bola no momentos antes de atingir o solo?

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2.6  Movimento retilíneo com aceleração variada:

Em muitas situações, embora sabendo a aceleração em função do tempo, não conhecemos nem a posição nem a velocidade em função do tempo, mas sim a aceleração. Como determinar a posição e a velocidade a partir da aceleração em função do tempo Fisica1-Cap2_60.png?

Quando a aceleração não é constante, mas é conhecida em função do tempo, podemos determinar a velocidade e a posição em função do tempo, integrando a função aceleração.

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Figura 2.7: Velocidade e posição por integração. Neste caso, a aceleração é funçao do tempo.

Demonstração Computacional 2.4: Movimento linear por integração

Exemplo 2.6: Movimento com aceleração variável

Os irmãos Winchester estão de caça. Dean está dirigindo seu Impala 1967 em um trecho retilíneo de uma estrada. No tempo t = 0, quando ele está se movendo a 10 m/s no sentido positivo do eixo Ox, o carro passa por um poste de sinalização a uma distância x = 50 m. Sua aceleração em função do tempo é dada por:

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(a) Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em função do tempo.
(b) Qual é o instante em que sua velocidade atinge o valor máximo?
(c) Qual é a velocidade máxima?
(d) Onde está o Impala quando a velocidade atinge seu valor máximo?

Exercício 2.6: Equações cinemáticas

Use as equações que definem posição e velocidade, em forma integral, para derivar duas de nossas quatro equações cinemáticas com aceleração constante:

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2.7  Problemas

1.    Sistema nervoso: A velocidade de um impulso nervoso no corpo humano é de aproximadamente 100 m/s. Se você está no escuro e por acidente bate seu dedão, calcule o tempo que leva para o impulso nervoso chegar ao seu cérebro.

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2.    Grand Prix: Um carro de corrida parte do repouso e viaja para leste por um trecho reto e nivelado. Durante os primeiros 5,0 s do movimento do carro, o componente voltado para o leste do vetor velocidade do carro é dado por Fisica1-Cap2_68.png. Qual é a aceleração do carro quando Fisica1-Cap2_69.png m/s?

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3.    O policial: O gráfico da figura mostra a velocidade da motocicleta de um policial em função do tempo. (a) Calcule a aceleração instantânea para t = 3 s, t = 7 s e t = 11 s. (b) Qual foi o deslocamento do policial nos 5 s iniciais? E nos 9 s iniciais? E nos 13 s iniciais?

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4.    Somos marcianos? Sugere-se, não jocosamente, que a vida possa ter sido originada em Marte e transportada para a Terra quando um meteoro atingiu Marte e liberou partes de rocha (talvez contendo vida primitiva) da superfície daquele planeta. Os astrónomos sabem que muitas rochas marcianas vieram para a Terra dessa maneira. (Por exemplo, procure na Internet por “ALH 84001”.) Uma objeção a essa ideia é que os micróbios teriam de passar por uma aceleração letal enorme durante o impacto. Vamos investigar qual poderia ser essa aceleração. Para escapar de Marte, os fragmentos de rocha teriam de alcançar sua velocidade de escape de 5,0 km/s, e isso provavelmente aconteceria a uma distância de cerca de 4,0 m durante o impacto do meteoro. (a) Qual seria a aceleração (em m/Fisica1-Cap2_72.png e g) desse fragmento de rocha, se a aceleração fosse constante? (b) Quanto tempo essa aceleração duraria? (c) Nos testes, os cientistas descobriram que mais de 40% da bactéria Bacillus subtilis sobreviveria após uma aceleração de 450.000 g. Com base na sua resposta para a parte (a), podemos desconsiderar a hipótese de que a vida poderia ter sido lançada de Marte para a Terra?

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5.    Descida na Lua: Um módulo explorador da Lua está pousando na Base Lunar I (Figura). Ele desce lentamente sob a ação dos retro-propulsores do motor de descida. O motor se separa do módulo quando ele se encontra a 5,0 m da superfície lunar e possui uma velocidade para baixo igual a 0,8 m/s. Ao se separar do motor, o módulo inicia uma queda livre. Qual é a velocidade do módulo no instante em que ele toca a superfície? A aceleração da gravidade na Lua é igual a 1,6 m/Fisica1-Cap2_74.png.

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6.    O Millennium Falcon? No lançamento, uma nave espacial pesa 4,5 milhões de libras. Quando lançada a partir do repouso, leva 8,0 s para atingir 161 km/h e, ao final do primeiro minuto, sua velocidade e de 1.610 km/h. (a) Qual e a aceleração media (em m/Fisica1-Cap2_76.png) da nave (i) durante os primeiros 8,0 s e (ii) entre 8,0 s e o final do primeiro minuto? (b) Supondo que a aceleração seja constante, durante cada intervalo (mas o necessariamente a mesma em ambos os intervalos), que distancia a nave viajou (i) durante os primeiros 8,0 s e (ii) durante o intervalo entre 8,0 s e 1,0 min?

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7.     Gravidade marciana: Uma rocha em Marte, onde a aceleração devido a gravidade e de 0,379 g e a resistência do ar é desprezível, e atingida diretamente para cima por um astronauta e retorna ao mesmo nível 8,5 s depois. (a) A que altura, acima do ponto de contato original, a rocha subira? (b) Em que velocidade ela estava se movendo logo depois de ser atingida? (c) Desenhe gráficos para a posição vertical da rocha, a velocidade vertical e a aceleração vertical em função do tempo enquanto ela esta no ar marciano.

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8.    Análise de terremoto:  Terremotos produzem diversos tipos de ondas de choque. As mais conhecidas são as ondas P (P de primaria ou pressão) e ondas S (S de secundaria ou sheartransversa). Na crosta terrestre, as ondas P trafegam a cerca de 6,5 km/s e as ondas S se movem a 3,5 km/s. O atraso no tempo entre a chegada dessas duas ondas em uma estação de registro sísmico diz aos geólogos a que distancia ocorreu um terremoto. Se o atraso é de 33 s, a que distância da estação sísmica ocorreu o terremoto?

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9.     Colisão: O maquinista de um trem de passageiros que viaja com velocidade Fisica1-Cap2_80.png = 25,0 m/s avista um trem de carga cuja traseira se encontra a 200,0 m de distancia a frente (Figura). O trem de carga se desloca no mesmo sentido do trem de passageiros com velocidade Fisica1-Cap2_81.png = 15,0 m/s. O maquinista imediatamente aciona o freio, produzindo uma aceleração constante igual a 0,100 m/Fisica1-Cap2_82.png no sentido contrario a velocidade do trem, enquanto o trem de carga continua com a velocidade constante. Considere x = 0 como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros quando o freio e acionado. (a) As vacas na vizinhança assistirão a uma colisão? (b) Se houver uma colisão, em que ponto ela ocorrera? (c) Faca um único gráfico mostrando a posição da frente do trem de passageiros e a traseira do trem de carga.

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10.     O vilão: Um helicóptero transportando o Dr. Evil decola com uma aceleração constante e ascendente de 5,0 m/Fisica1-Cap2_84.png. O agente secreto Austin Powers pula a bordo assim que o helicóptero deixa o solo. Após os dois lutarem por 10,0 s, Powers desliga o motor e salta do helicóptero. Suponha que o helicóptero esteja em queda livre após o motor ser desligado e ignore os efeitos da resistência do ar. (a) Qual e a altura maxima sobre o solo que o helicóptero atinge? (b) Powers aciona um dispositivo a jato que carrega as costas 7,0 s após deixar o helicóptero e depois se mantém a uma aceleração constante descendente com modulo 2,0 m/Fisica1-Cap2_85.png. A que distancia do solo Powers esta quando o helicóptero se espatifa no solo?

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