Física 1 - Mecânica

Para Cientistas e Engenheiros

Dr. Cristian Giovanny Bernal - IMEF FURG

1.  Unidades, grandezas físicas e vetores

1.1  Introdução

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Figura 1.1: Um mapa de tudo que sabemos sobre física e como tudo se relaciona.

O QUE É FÍSICA? A física é uma das ciências mais importantes. Sua linguagem, como nas demais ciências, é a matemática. Cientistas de todas as disciplinas usam os conceitos da física: químicos, paleontólogos, climatologistas, astrónomos, etc. A física é também a base de toda engenharia e tecnologia.

O estudo da física também é uma aventura: ela é desafiadora, algumas vezes frustrante, ocasionalmente dolorosa e, com frequência, significativamente gratificante. Você passará a encarar a física como uma elevada aquisição da mente humana na busca para compreender nossa existência e nosso mundo.

1.2  Métodos e modelos

O MÉTODO CIENTÍFICO: A física é uma ciência experimental. O físico observa fenómenos naturais e tenta encontrar os padrões e os princípios que relacionam esses fenómenos. Esses padrões são denominados teorias físicas ou, quando bem estabelecidos e bastante utilizados, leis ou princípios físicos.

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Figura 1.2: O Método CientÍfico é a base de toda a Ciência e a Engenharia.

ESTRATÉGIAS: Aprender a resolver problemas é fundamental; você não sabe física, a menos que você faça física.

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Figura 1.3: Estratégias fundamentais para resolver problemas na Física.

MODELOS FÍSICOS: Na física, um modelo é uma versão simplificada de um sistema físico que seria complicado demais para analisar com detalhes completos.

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Figura 1.4: Para simplificar a análise de (a) uma bola de beisebol arremessada ao ar, usamos (b) um modelo idealizado.

1.3  Grandezas físicas e unidades

GRANDEZAS FÍSICAS: Qualquer número usado para descrever quantitativamente um fenómeno físico denomina-se grandeza física.

As grandezas físicas fundamentais da mecânica são massa, comprimento e tempo. As unidades no Sistema Internacional de unidades (SI) correspondentes são: quilograma, metro e segundo.

As unidades derivadas para outras grandezas físicas são produtos ou quocientes dessas unidades básicas.

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Figura 1.5: O sistema Internacional SI foi atualizado em 2019. As unidades e grandezas físicas são agora medidas ou definidas em função das constantes físicas fundamentais.

ANÁLISE DIMENSIONAL: As equações devem ser dimensionalmente coerentes; dois termos só podem ser somados quando possuírem as mesmas unidades. Isto é fundamental para testar equações usando suas unidades básicas.

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NOTAÇÃO CIENTÍFICA: Várias quantidades utilizadas pelos cientistas geralmente têm valores muito grandes ou muito pequenos. Obviamente, é bastante complicado ler, escrever e acompanhar esses números. Evitamos este problema utilizando um método que incorpora potências do número 10:

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Demonstração Computacional 1.1: A Notação Científica como uma ferramenta poderosa na Física.

PREFIXOS E CONVERSÃO DE UNIDADES: Uma vez definidas as unidades fundamentais, é fácil introduzir unidades maiores e menores para as mesmas grandezas físicas.
No SI se usam prefixos da potência 10. Também, usamos equações para relacionar grandezas físicas representadas por símbolos algébricos. A cada símbolo algébrico, sempre associamos um número e uma unidade. Além do SI existem outros sistemas de unidades.

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Figura 1.6: Fatores de conversão das unidades básicas.

Exemplo 1.1: Análise dimensional

Suponha que a aceleração a de uma partícula movendo-se com velocidade uniforme v em um círculo de raio r seja proporcional a alguma potência de r. digamos Fisica1-Cap1_11.png, e alguma potência de v, digamos Fisica1-Cap1_12.png. Determine os valores de n e m, e escreva a forma mais simples de uma equação para a aceleração. Lembre que  Fisica1-Cap1_13.png.

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Exercício 1.1: Análise de uma equação

Mostre que a expressão Fisica1-Cap1_15.png – em que Fisica1-Cap1_16.png representa velocidade inicial; a, aceleração; e t, um instante no tempo – está dimensionalmente correta.

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Exemplo 1.2: Ele está correndo?

Em uma rodovia interestadual na região rural de Wyoming (EE.UU), um carro viaja a 38,0 m/s. Lembrando que 1 mi é o mesmo que 1,609 km:
(a) O motorista está excedendo o limite de velocidade de 75,0 mi/h?
(b) Se o motorista não fosse dos Estados Unidos e só estivesse familiarizado com velocidades medidas em quilómetros por hora? Qual seria a velocidade do carro em km/h?

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Exercício 1.2: O diamante africano

Um dos maiores diamantes lapidados do mundo é o First Star of Africa (Primeira Estrela da África), montado no Cetro Real Inglês e mantido na Torre de Londres. Seu volume é igual a 1,84 polegadas cúbicas. Qual é seu volume em centímetros cúbicos? E em metros cúbicos?

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1.4  Algarismos significativos e estimativas

As medidas sempre envolvem incertezas. A incerteza também é chamada erro da medida. A exatidão ou acurácia de uma medição pode ser indicada pelo número de algarismos significativos ou pela incerteza estipulada.

Os algarismos significativos no resultado de um cálculo são determinados pelas regras que estão resumidas na Figura 1.7.

Quando dispomos apenas de estimativas grosseiras para os dados de entrada, normalmente podemos fazer estimativas úteis de ordem de grandeza.

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Figura 1.7: Uso de algarismos significativos.

Exemplo 1.3: Energia de repouso

A energia de repouso E de um corpo de massa m é dada pela famosa equação de Einstein  Fisica1-Cap1_21.png, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Determine E para um elétron para o qual (até três algarismos significativos) a massa é Fisica1-Cap1_22.png kg.  A unidade SI para energia E é o joule (J); Fisica1-Cap1_23.png.

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Exercício 1.3: O carpete

Um carpete deve ser instalado em uma sala retangular de uma casa, cujas medidas são 12,71 m de comprimento e 3,46 m de largura. Encontre a área da sala.

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Exemplo 1.4: Inspirações durante a vida

Estime o número de inspirações durante um período médio da vida humana.

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Exercício 1.4: O número de átomos em um sólido

Estime o número de átomos em Fisica1-Cap1_27.png de um sólido. O diâmetro d de um átomo é cerca de Fisica1-Cap1_28.png m.

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1.5  Escalares, vetores e soma vetorial

A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação, e precisa de uma linguagem matemática especial, a linguagem dos vetores, para descrever essas grandezas.

As grandezas escalares são números que devem ser combinados usando-se as regras normais da aritmética (massa, tempo, temperatura, etc).

As grandezas vetoriais possuem módulo, direção e sentido e devem ser combinadas usando-se as regras da soma vetorial (velocidade, posição, força, etc).

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Figura 1.8: Vetores e soma vetorial.

O negativo de um vetor possui o mesmo módulo, mas aponta no sentido oposto.

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Figura 1.9: Vetores negativos.

Uma grandeza vetorial como o deslocamento pode ser multiplicada por uma grandeza escalar (um número comum). A grandeza escalar usada para multiplicar um vetor pode ser uma grandeza física que possua unidades.

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Figura 1.10: Multiplicação de um vetor por um escalar positivo ou negativo.

Demonstração Computacional 1.2: Soma de vetores em 2D.

Exemplo 1.5: Um teste de campo

Em um teste de campo, você recebe a tarefa de se afastar o máximo possível de um acampamento por meio de três deslocamentos retilíneos. Você pode usar os seguintes deslocamentos, em qualquer ordem:
(i)
Fisica1-Cap1_35.png, 2,0 km para leste;
(
ii) Fisica1-Cap1_36.png, 2,0 km 30º ao norte do leste;
(
iii) Fisica1-Cap1_37.png, 1,0 km para oeste.
Você pode também substituir
Fisica1-Cap1_38.png por Fisica1-Cap1_39.png e Fisica1-Cap1_40.png por Fisica1-Cap1_41.png. Qual é a maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento? (A direção do deslocamento total fica a seu critério.)

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Exercício 1.5: Soma de dois vetores em ângulos retos

Uma esquiadora percorre 1,0 km para o norte e depois 2,0 km para o leste em um campo horizontal coberto de neve. A que distância ela está  do ponto de partida e em que direção?

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1.6  Componentes de vetores

Somar vetores geometricamente pode ser uma tarefa tediosa. Uma técnica mais elegante e mais simples envolve o uso da álgebra, mas requer que os vetores sejam representados em um sistema de coordenadas retangulares.

A soma vetorial pode ser feita usando-se os componentes dos vetores. O componente x de Fisica1-Cap1_44.png é a soma dos componentes x de Fisica1-Cap1_45.png e Fisica1-Cap1_46.png, o mesmo ocorrendo com os componentes y e z.

Os vetores podem ser representados por coordenadas cartesianas, Fisica1-Cap1_47.png, ou por coordenadas polares, Fisica1-Cap1_48.png.

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Figura 1.11: Representamos um vetor Fisica1-Cap1_50.png em termos de seus componentes Fisica1-Cap1_51.png e Fisica1-Cap1_52.png ou  Fisica1-Cap1_53.png e  Fisica1-Cap1_54.png.

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Figura 1.12: Resultante da soma vetorial

Demonstração Computacional 1.3: Vetores em 2D e suas componentes.

Exemplo 1.6: Cálculo dos componentes

Resolva as questões usando a técnica dos componentes de um vetor:
(a) Quais são os componentes x e y do vetor Fisica1-Cap1_57.png, se seu módulo é D = 3,0 m e o ângulo α = 45º  no sentido horário?
(b) Quais são os componentes
x e y do vetor Fisica1-Cap1_58.png, se seu módulo é E = 4,5 m e o ângulo β = 37º com o eixo y? Os eixos não estão na posição padrão.

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Exercício 1.6: A rota de um avião

Um pequeno avião decola de um aeroporto em um dia nublado e é avistado mais tarde a 215 km de distância, em um curso que faz um ângulo de 22º a leste do norte. A que distância a leste e ao norte do aeroporto está o avião no momento em que é avistado?

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Exemplo 1.7: Cálculo dos componentes

Três finalistas de um reality show encontram-se no centro de um campo plano e grande. Cada competidor recebe uma barra de um metro, uma bússola, uma calculadora, uma pá e (em ordens diferentes para cada competidor) os três deslocamentos seguintes:

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Os três deslocamentos levam a um ponto onde as chaves de um
Porsche novo foram enterradas. Dois competidores começam imediatamente a fazer medições, porém a vencedora foi quem realizou cálculos antes das medidas. O que ela calculou?

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Exercício 1.7: Fazendo uma caminhada

Uma praticante desse esporte começa caminhando 25,0 km a 45º sudeste do seu carro. Ela para e arma sua tenda para passar a noite. No segundo dia, caminha 40,0 km em uma direção 60,0° do leste para o norte, ponto em que descobre uma torre de guarda florestal.
(a) Determine as componentes do deslocamento da caminhante para cada dia.
(b) Determine as componentes do deslocamento resultante da caminhada
Fisica1-Cap1_63.png.
(c) E se depois de atingir a torre, a praticante de caminhada deseja retornar ao carro ao longo de uma única linha reta. Quais são as componentes do vetor que representam essa caminhada? Qual deve ser a direção da caminhada?

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1.7  Vetores unitários

Os vetores unitários descrevem certas direções e sentidos no espaço. Um vetor unitário não possui dimensão nem unidade; sua única função é especificar uma orientação.

Um vetor unitário possui módulo igual a 1, sem unidades.

Especialmente úteis são os vetores unitários Fisica1-Cap1_65.png, Fisica1-Cap1_66.png e Fisica1-Cap1_67.png, alinhados aos eixos x, y e z de um sistema retangular de coordenadas.

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Figura 1.13: Representação de um vetor com vetores unitários.

Exemplo 1.8: Soma de vetores usando vetores unitários

Encontre a soma Fisica1-Cap1_69.png de dois vetores deslocamento Fisica1-Cap1_70.png e Fisica1-Cap1_71.png no plano xy, dados por:

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Qual é o módulo e a orientação deste vetor?

Exercício 1.8: Uso de vetores unitários

Dados os dois deslocamentos,

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Encontre o módulo de deslocamento
Fisica1-Cap1_74.png.

1.8  Produto escalar

Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor: uma forma (conhecida como produto escalar) resulta em um escalar. Algumas das propriedades são:

O produto escalar Fisica1-Cap1_75.png  de dois vetores Fisica1-Cap1_76.png e Fisica1-Cap1_77.png é uma grandeza escalar.

O produto escalar pode ser expresso em termos dos módulos de Fisica1-Cap1_78.png e Fisica1-Cap1_79.png e o ângulo φ, entre os dois vetores, ou em termos dos componentes dos dois vetores.

O produto escalar é comutativo:  Fisica1-Cap1_80.png.

O produto escalar de dois vetores perpendiculares é igual a zero. No caso particular dos vetores unitários:

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Figura 1.14: Produto escalar de dois vetores.

Demonstração Computacional 1.4: Produto escalar como uma projeção de um vetor sobre outro vetor.

Exemplo 1.9: Cálculo de ângulos usando o produto escalar

Ache o ângulo entre os dois vetores Fisica1-Cap1_84.png e Fisica1-Cap1_85.png, os quais estão escritos na notação de vetores unitários.

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Exercício 1.9: Cálculo de produto escalar

Ache o produto escalar Fisica1-Cap1_88.png dos dois vetores da figura usando o método dos módulos-ângulo e o método dos componentes. Os módulos dos vetores são: A = 4,00  e  B = 5,00.

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1.9  Produto vetorial

Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor: uma segunda forma (conhecida como produto vetorial) resulta em um vetor.  Algumas das propriedades são:

O produto vetorial Fisica1-Cap1_90.png  de dois vetores Fisica1-Cap1_91.png e Fisica1-Cap1_92.png é um um terceiro vetor Fisica1-Cap1_93.png.

O módulo de Fisica1-Cap1_94.png depende dos módulos de Fisica1-Cap1_95.png e Fisica1-Cap1_96.png e do ângulo φ entre os dois vetores.

A direção do produto vetorial é perpendicular ao plano dos dois vetores que estão sendo multiplicados, conforme a regra da mão direita.

Os componentes de Fisica1-Cap1_97.png podem ser expressos em termos dos componentes de Fisica1-Cap1_98.png e Fisica1-Cap1_99.png.

O produto vetorial não é comutativo: Fisica1-Cap1_100.png.

O produto vetorial de dois vetores paralelos ou antiparalelos é igual a zero. No caso particular dos vetores unitários:

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Figura 1.15: Módulo do produto vetorial e lei da mão direita.

Demonstração Computacional 1.5: O produto vetorial é perpendicular.

Exemplo 1.10: Cálculo de um produto vetorial

O vetor Fisica1-Cap1_104.png possui módulo igual a 6 unidades e está contido no eixo x. O vetor Fisica1-Cap1_105.png possui módulo igual a 4 unidades e está contido no plano xy, formando um ângulo de 30º com o eixo x. Calcule o produto vetorial  Fisica1-Cap1_106.png.

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Exercício 1.10: O produto vetorial é anticomutativo

Dois vetores Fisica1-Cap1_108.png e Fisica1-Cap1_109.png no plano xy são dados pelas equações abaixo. Encontre Fisica1-Cap1_110.png e verifique que Fisica1-Cap1_111.png.

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1.10  Problemas

1.    A luz: Calcule o tempo em nanossegundos que a luz leva para percorrer uma distância de 1,0 km no vácuo. (Este resultado é uma grandeza importante de se lembrar.)

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2.    Neptúnio: No outono de 2002, um grupo de cientistas do Los Alamos National Laboratory determinou que a massa crítica do neptúnio-237 é de aproximadamente 60 kg. A massa crítica de um material passível de desintegração nuclear é a quantidade mínima que deve ser acumulada para iniciar uma reação em cadeia. Esse elemento possui densidade de 19,5 g/Fisica1-Cap1_114.png. Qual seria o raio de uma esfera desse material que possui massa crítica?

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3.    Astronautas: Quatro astronautas estão em uma estação espacial esférica. (a) Se, como é comum, cada um deles respira cerca de 500 Fisica1-Cap1_116.png de ar a cada respiração, aproximadamente que volume de ar (em metros cúbicos) esses astronautas respiram em um ano? (b) Qual teria de ser o diâmetro (em metros) da estação espacial para conter todo esse ar?

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4.    Estrelas compactas: Lembre-se de que densidade é massa dividida pelo volume de um corpo. (a) Calcule a densidade média da Terra em g/Fisica1-Cap1_118.png, supondo que nosso planeta seja uma esfera perfeita. (b) Em cerca de 5 bilhões de anos, no final de sua vida, nosso Sol vai acabar como uma anã branca com aproximadamente a mesma massa, tal como agora, mas reduzido para cerca de 15.000 km de diâmetro. Qual será sua densidade nesse estágio? (c) Uma estrela de nêutrons é o remanescente de certas supernovas (explosões de estrelas gigantes). Geralmente, estrelas de nêutrons têm cerca de 20 km de diâmetro e aproximadamente a mesma massa do nosso Sol. Qual é a densidade típica da estrela de nêutrons em g/Fisica1-Cap1_119.png?

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5.    Constelação: As sete estrelas principais da Ursa Maior parecem estar sempre situadas a uma mesma distância da Terra, embora elas estejam muito afastadas entre si. A figura indica a distância entre a Terra e cada uma dessas estrelas. As distâncias são dadas em anos-luz (al) — um ano-luz é a distância percorrida pela luz durante um ano, e equivale a Fisica1-Cap1_121.png m. (a) Alcaide e Méraque estão 25,6º separadas no céu. Em um diagrama, mostre as posições relativas do Sol, de Alcaide e de Méraque. Calcule a distância em anos-luz entre Alcaide e Méraque. (b) Para um habitante de um planeta na órbita de Méraque, qual seria a separação angular entre o Sol e Alcaide?

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6.    Bactérias: As bactérias variam em tamanho, mas um diâmetro de 2,0 μm não é raro. Quais são o volume (em centímetros cúbicos) e a área da superfície (em milímetros quadrados) de uma bactéria esférica com esse tamanho?

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7.    O super-homem: Encontre as componentes horizontais e verticais do deslocamento de 100 m de um super-herói que voa do topo de um edifício seguindo o caminho mostrado na figura.

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8.    O maser de hidrogénio: Um maser é um dispositivo tipo laser, que produz ondas eletromagnéticas com frequências nas faixas de micro-ondas e ondas de radio do espectro eletromagnético. As ondas de radio geradas por um maser de hidrogénio podem ser usadas como um padrão de frequência. A frequência dessas ondas e igual a 1.420.405.751,786 hertz. (Um hertz e o mesmo que um ciclo por segundo.) Um relógio controlado por um maser de hidrogénio pode atrasar ou adiantar apenas 1 s em 100.000 anos. Para as respostas as perguntas seguintes, use apenas três algarismos significativos. (O grande numero de algarismos significativos nessa frequência simplesmente ilustra a impressionante exatidão de sua medida.) (a) Qual e o intervalo de tempo de um ciclo dessa onda de radio? (b) Quantos ciclos ocorrem em 1 h? (c) Quantos ciclos poderiam ter ocorrido durante a idade da Terra, estimada em Fisica1-Cap1_125.png anos? (d) Quantos segundos um relógio controlado por um maser de hidrogénio poderia atrasar ou adiantar em um intervalo igual a idade da Terra?

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9.    A Via Láctea: A distância do Sol até a estrela mais próxima é de cerca de Fisica1-Cap1_127.png m. A Via Láctea é grosseiramente um disco de diâmetro Fisica1-Cap1_128.png m e espessura Fisica1-Cap1_129.png m. Encontre a ordem de grandeza do número de estrelas na Via Láctea.

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10.    O metano: Na molecula do metano, Fisica1-Cap1_131.png, cada átomo de hidrogénio ocupa o vértice de um tetraedro regular em cujo centro se encontra o átomo de carbono. Usando coordenadas de tal modo que uma das ligações C—H esteja na direção de Fisica1-Cap1_132.png , uma ligação C—H adjacente estará na direção Fisica1-Cap1_133.png. Calcule o ângulo entre essas duas ligações.

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